トポロジー入門演習(第7回)

[場所1E103（月曜日4限）]

配付プリント

HPに行く．

先日手習い塾にいきましたら、
問題3-21を解いている人が多かったので、ここでもう一度やっておきます。

ここに、簡単な問題の解答を載せていくので、発表ゼロの人はまずはこちらから解き始めて(発表し始めて)ください．
今回は、(3,4,5),(6,7) の問題を一つずつ紹介しました．

問題3-21

$X$ を距離空間とする．$A$ の内点 $x$ を、$x$ を中心とした $A$ に含まれる $\epsilon$-球が存在することと定義し、 $A$ の内部 $A^\circ$ を $A$ の内点全体とする．また、 $A$ の触点(任意の $\epsilon>0$ に対して $U_\epsilon(x)\cap A\neq \emptyset$ となる点全体)を $\bar{A}$ を $A$ の閉包という．このとき、以下のそれぞれに答えよ．
(1)  $A^\circ$ は、$A$ に含まれる最大の開集合であることを示せ．
(2) $\bar{A}$ は $A$ を含む最小の閉集合であることを示せ．

つまり、$A^\circ=\{x\in X|\text{ ある }\epsilon>0\text{ に対して }U_{\epsilon}(x)\subset A\}$
となる集合とすると、(1) は、$A^\circ$ が $A$ に含まれる開集合であり、それが、$A$ に含まれるものの中で、最小であるということを示せということです．


(1) についてやると、まず、$A^\circ$ が $A$ の部分集合であることは、$x\in A^\circ$ に対して、$x\in U(x,\epsilon)\subset A$ となることから明らかです．次に $A^\circ$ が開集合であることを示します．$A^\circ$ が開集合であることは、$A^\circ$ の任意の点 $x$ に対して $U(x,\epsilon)\subset A^\circ$ を満たすような $\epsilon>0$ が存在することです．

条件から、$U(x,\epsilon)\subset A$ となる $\epsilon>0$ は存在するのだから、
あとは、そのような $U(x,\epsilon)\subset A^\circ$ となることを示せばよいことになります．

しかし、$U(x,\epsilon)$ が開集合であることを使えば、
任意の $y\in U(x,\epsilon)$ に対して、ある $\delta$ が存在して、$U(y,\delta)\subset U(x,\epsilon)$ となります．$U(x,\epsilon)\subset A$ であることと $A^\circ$ の定義から
$y\in A^\circ$ であることがわかります．

ゆえに、$U(x,\epsilon)\subset A^\circ$ となることがわかりました．
つまり、$A^\circ$ は開集合であることがわかりました．

よって、$A^\circ$ は開集合であり、$A$ に含まれるすべての開集合が含まれている
ということもわかったと思います．

要するに、$\cup\{S|A\text{ に含まれる開集合}\}\subset A^\circ$
であることもわかります．$A^\circ$ も $A$ の開集合であることから、
$$A^\circ\subset \cup\{S|S\text{ は }A\text{に含まれる開集合}\}\subset A^\circ$$
となります．

ゆえに、$A^\circ = \cup\{S|S\text{ は }A\text{に含まれる開集合}\}$ となります．
つまり、$A^\circ$ は $A$ に含まれる開集合で、$A$ に含まれる開集合をすべて含んでいるので、$A^\circ$ は、$A$ に含まれる最大の開集合ということになります．

最大であることを実際証明することもできます．

$x\in A-A^\circ$ が、ある$A$ に含まれる開集合 $B$ の点であるとすると、
ある $\epsilon>0$ が存在して、$U(x,\epsilon)\subset B\subset A$ となります．
$A^\circ$ の定義から、$x\in A^\circ$ であることから条件に反します．

同じようにして、(2) についても証明することができます．


次に、6,7の問題でも手習い塾でやっていた問題は、

問題6-1-1の
${\mathbb R}$ の部分集合の族を $\mathcal{O}=\{(a,\infty)|a\in {\mathbb R}\cup\{-\infty\}\}\cup\{\emptyset\}$
とすると位相空間であることを示せ．

という問題でした．(最初配ったプリントにはミスプリがありましたので直しました．最後の部分は $\cap$ ではなく、$\cup$ が正しいです．)

$X$ が位相空間であることを示すには、$X$ の部分集合族 $\mathcal{O}$ が以下の性質を満たすことを示せば良いことになります．
[1] $\emptyset \in \mathcal{O}$ かつ $X\in\mathcal{O}$
[2] 有限個の $U_1,\cdots,U_n\in \mathcal{O}$ に対して、$U_1\cap U_2\cdots\cap U_n\in\mathcal{O}$ となる．
[3] 任意個の $U_\lambda\in\mathcal{O}$ に対して、$\cup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda\in \mathcal{O}$ となる．

上の6-1-1についてやって見ると、
[1] については $\emptyset\in \mathcal{O},(-\infty,\infty)=X\in \mathcal{O}$ であるから成り立つ．
[2] について、$(a_1,\infty),\cdots,(a_n,\infty)\in\mathcal{O}$ とし、$\cap_{i=1}^n(a_i,\infty)$ を考える．$a_1\cdots,a_n$ の中で $-\infty$ が一つでもあれば、 のぞいて考えても構わない．(もし、そのような物しかなければ、この共通集合は $(-\infty,\infty)$ となりこのときも[2] は成り立っている．)
任意の $i$ に対して、$-\infty<a_i<\infty$ として構わない．このとき、$\cap_{i=1}^n(a_i,\infty)$ は $(\max\{a_i\},\infty)$ となるので、$\cap_{i=1}^n(a_i,\infty)\in\mathcal{O}$ となる．
[3] $\cup_{\lambda\in\Lambda}(a_\lambda,\infty)$ を考える．この中で、一つでも、$(-\infty,\infty)$ があるとすると、この和集合は $(-\infty,\infty)$ になる．なので任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して $a_\lambda\neq -\infty$ と仮定してよい．
このとき、$\cup_{\lambda\in\Lambda}(a_\lambda,\infty)=(\inf\{\lambda|\lambda\in\Lambda\},\infty)$ となる．
実際、$a\in \cup_{\lambda\in\Lambda}(a_\lambda,\infty)$ とすると、ある$\lambda\in \Lambda$ に対して、$a_\lambda<a$ が成り立つので、$\inf\{a_\lambda|\lambda\in \Lambda\}<a$ が成り立つ．
よって、$\cup_{\lambda\in\Lambda}(a_\lambda,\infty)\subset (\inf\{\lambda|\lambda\in\Lambda\},\infty)$
逆に、$a\in (\inf\{\lambda|\lambda\in\Lambda\},\infty)$ とすると、$\inf\{\lambda|\lambda\in\Lambda\}<a$ となり、$a$ は $\{\lambda|\lambda\in\Lambda\}$ の下界ではないので、ある $\lambda\in\Lambda$ に対して、$a_\lambda<a$ となる．よって、
$a\in \cup_{\lambda\in\Lambda}(a_\lambda,\infty)$ がいえる．
よって、$\cup_{\lambda\in\Lambda}(a_\lambda,\infty)=(\inf\{\lambda|\lambda\in\Lambda\},\infty)$ がなりたつ．
つまり、$\cup_{\lambda\in\Lambda}(a_\lambda,\infty)\in \mathcal{O}$ が成り立ったので、[3]が成り立つことがわかる．