トポロジー入門演習(第8回)

[場所1E103（月曜日4限）]

配付プリント

HPに行く．

今回は慌ただしく、１５人の人の発表を見ました。
一人５分くらいということですが、いつも、もう少しで、できるかもしれないと
期待して一人の人に時間をかけてしまうことがあります。
これからは、もう少し早めに行って黒板に早く書いた人から見ようと思います。
今の段階で、９２回の発表を見ました．すでに去年の１１３回にもう迫ろうとしています．
ちなみに、一昨年は９７問ですから、年々解く人が増えています．
その前はもっと少なかった(最高で７問の人がいたくらい)ですから．

有志で自主ゼミをしたせいかでしょうか．これだけ位相空間が好きな人が
集まれば、今後位相空間を専門にする人が多く現れると面白いですね．
そもそも筑波は、昔から他のどこの主要大学より、位相空間が強い土地です．

個人的には、位相空間に強い人がドンドン現れて、
数学の他の分野と融合しながら、数学の風景が変わって来ると面白いなぁ
と思っています．

来年以降も自主ゼミが伝統で続くといいと思います．

正則空間と正規空間
ここで、正則空間と正規空間をまとめておきます。
定義をここで述べておきます。

正則空間
任意の閉集合とその閉集合にない一点は開集合で分離される。

正規空間
任意の２つの交わらない閉集合は開集合で分離される。

です．分離されるということは、その２つの集合を含む開集合 $U,V$ が存在して、
$U\cap V=\emptyset$ となるということです．


正則空間であることの必要十分条件
$X$ が正則であることは $X$ の閉近傍全体が基本近傍系となることとは必要十分．

(証明)
$X$ が正則であるとする．$R(X)$ を $X$の閉近傍全体とする．
$x\in X$ とする．$U$ を $x$ の任意の近傍とする．
このとき $U$ は近傍なので、$x\in V\subset U$ なる開集合 $V$ が存在する．
$X-V$ は閉集合なので、正則性から、ある開集合 $U_0,U_1$ が存在して、
$x\in U_0$ かつ $X-V\subset U_1$ となり、かつ $U_0\cap U_1=\emptyset$ となる．
よって、$W=X-U_1$ は閉集合であり、$x\in W$ となる．また、$x\in U_0\subset W$ となるので、$W$ は $x$ の閉近傍となる．
よって、任意の近傍 $U$ に対して、 $x\in W\subset U$ なる閉近傍 $W$ が存在する．
これは、$R(X)$ が$X$ の基本近傍系となることを意味している．

逆に、閉近傍全体が基本近傍系となるとすると、$x$ を任意の点として、$F$ を $x\not\in F$ なる任意の閉集合とする．
このとき、$U=X-F$ は $x$ の開近傍であり、$x$ のある閉近傍 $W$ が存在して、$x\in W\subset U$ となる．よって、$X-W$ は $F$ を含む開集合で、$W$ は閉近傍であることから、ある開集合 $x\in V\subset W$ が存在する．
よって、$V, X-W$ は、$x, F$ を分離する開集合となる．



正規空間であることの以下のような必要十分条件があります．
$X$ が正規であることは $X$ の閉集合 $F$ と開集合 $G$ に対して、$F\subset G$ ならば、開集合 $U$ で、$F\subset U\subset \bar{U}\subset G$ となるものが存在する．
(証明)
$X$ が正規とする．$X$ の閉集合 $F$ と $G$ を開集合であり、$F\subset G$ を満たすとする．このとき、$F$ と、$X-G$ に対して開集合 $U,V$ が存在して、$F\subset U$ かつ、$X-G\subset V$ かつ、$U\cap V=\emptyset$となるものが存在する．
よって、$U\subset X-V\subset G$ となり、$X-V$ は閉集合なので、$U\subset \bar{U}\subset X-V$ となる．ゆえに、$F\subset U\subset \bar{U}\subset G$ となる開集合 $U$ が存在する．
逆に、閉集合 $F$ と開集合 $G$ で、$F\subset G$ となるものに対して、$F\subset U\bar{U}\subset G$ なる開集合が存在するとするとする．
今、閉集合 $V_0,V_1$ に対して、$V_0\cap V_1=\emptyset$ となるものを任意にとる．
このとき、$V_0\subset X-V_1$ となり、$X-V_1$ は開集合．
よって、開集合 $U$ が存在して、$V_0\subset U\subset \bar{U}\subset X-V_1$ となる．
このとき、$X-\bar{U}$ は、開集合であり、$V_1\subset X-\bar{U}$ であり、
$V_0\subset U_0$ であるので、$V_0,V_1$ は $U_0$ $X-U_0$ によって分離できる．

パラコンパクトと可算パラコンパクト

位相空間 $X$ とそのある部分集合の族が存在した時、その族が、局所有限とは、任意の点 $p$ において、その点の近傍 $U(p)$ が存在して、$U(p)$ と共通部分をもつ部分集合が有限個しかないことを言います．
ここで、コンパクト空間の周辺の定義をいくつか紹介して終わります．

コンパクト
任意の開被覆が有限部分被覆をもつ．

パラコンパクト
任意の開被覆に対して局所有限な開細分をもつ．

部分被覆ではなく、開細分であるということに注意してください．
つまり開被覆の任意の開集合 $A$ に対して、局所有限な開被覆の開集合 $U$ が存在して、$U\subset A$ となるということです．

可算パラコンパクト
任意の可算開被覆に対して局所有限な開細分をもつ．

メタコンパクト
任意の開被覆に対して、点有限な開細分をもつ

点有限であるとは、任意の点 $x$ に対して、その点とぶつかる被覆が有限であることをいいます．

オーソコンパクト
任意の開被覆において、次のような性質(内部保存)を満たす開細分が存在する．
任意の点 $x$ について、$x$ をその開細分の共通部分をとると、再び開集合となる．

コンパクト $\Rightarrow$ パラコンパクト
パラコンパクト $\Rightarrow$ メタコンパクト
メタコンパクト $\Rightarrow$ オーソコンパクト

となることがすぐわかると思います．また、

パラコンパクト  $\Rightarrow$ 可算パラコンパクト

もすぐわかります．