トポロジー入門演習(第5回)

[場所1E103（月曜日4限）]

配付プリント

HPに行く．

トポロジー入門の講義の方では位相や、開基にはすでに入っているようですね。
位相の定義をもう一度書いておくと、

$(X,\mathcal{O})$ が位相空間であるとは、
$X$ を集合とする．$\mathcal{O}$ が $X$ の部分集合の族であり、
以下の性質を満たすものをいいます．

1. $X\in \mathcal{O}$ かつ、$\emptyset\in \mathcal{O}$
2. $U_1,\cdots, U_n\in \mathcal{O}$ であれば、$U_1\cap U_2\cap\cdots\cap  U_n\in \mathcal{O}$
3. $\mathcal{O}$ の族 $\{U_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ であるなら、$\cup_{\lambda\in \Lambda}U_\lambda\in \mathcal{O}$

2. は有限個の共通部分は必ず、位相に入っている．

3. は有限個とは限らない和集合であれば、その和集合も位相に入っている．

ということになります．

位相空間上の開集合は $\mathcal{O}$ によって特徴付けられているので、

$\mathcal{O}$ のことを $X$ 上の位相といい、$\mathcal{O}$ のことそのものを位相と言ったりも
します．

 

 

今回の授業では、有限点上の位相空間を解いた人が何人かいました。

$n$ 点集合の部分集合は全部で $2^n$ 個ありますが、その部分集合の族を与えるのが

位相ということです．

なので、部分集合の族全体は、 $2^{2^n}$ 個あります．その中で、

位相となる集合があるのです．

ただ、そのうち、全体集合と、空集合は必ず入りますから、$2^{2^{n}-2}$ の部分だけを考えればよいことになります。

$n=2$ の場合は、部分集合の族全体で、自明に位相でないものを抜いたものの数、

$2^{2^{2}-2}=4$ が全て位相になります．つまり、$4/4$ が位相になります．

$n=3$ の場合は、$2^{2^3-2}=2^6=64$ が部分集合の族全体で、自明に位相でないものを抜いたものの数ですが、実際位相となりうるのは、そのうち、29個です．$29/64$ ですからだいぶん小さくなることがわかります．
一般の $n$ について $T(n)$ を $n$　点集合の位相の数とすると、比 $T(n)/2^{2^n-2}$ はだんだんと小さくなっていくと思われます．しかし、その極限

$\lim_{n\to \infty}\frac{T(n)}{2^{2^n-2}}$

は存在するのか？ $0$ に収束するのか？一定の値に近づくのか知られていません．

一般の有限点集合上の位相空間の考え方を以前(ここ)書いたので、参照してください。
有限集合上の位相をその中で、ある点を含む最小の開集合を使ってある順序集合ができ、
その順序集合のハッセ図によって分類を行うものです．

一般の位相の話に戻ります．

このように、位相を定義すると、位相空間の間の連続写像 $f:X\to Y$ が以下のように定義されます。つまり、

位相空間 $Y$ 上の任意の開集合 $U$ に対して、$f^{-1}(U)$ は $X$ の開集合になる

と簡単にいうことができます．この中には、距離空間における、$\epsilon-\delta$ 論法のステートメントも含まれています．ただ、これが連続の定義だと最初に見せられるより、まずは、$\epsilon-\delta$ 論法を学んでから、この定義を学んだ方が連続のイメージはしやすいと思います．

また、開基（ベース、base）という概念が重要です．
位相空間において、開基のいくつかの元の和集合によってかける開集合全体が、
その位相と一致するものをその位相空間の開基といいます．

開基の線形空間の基底と似ており
全ての開集合が、開基の元の和集合としてかけるという性質があります．

よって、開基を決めておけば、一意的に集合上に位相を入れることができます．

例えば、${\mathbb R}$ 上の通常の位相は、開基として、$(a,b)$ なる開区間の
集合を開基としてもつことで、得られます．これは、${\mathbb R}$ の開集合が
距離空間としての開集合であることからすぐにわかると思います．