トポロジー入門演習(第3回)

[場所1E103（月曜日4限）]

配付プリント

HPに行く．

今回発表してもらった内容をおさらいしておきます．

$A$ の内部の定義は２種類あります。

• $A$ に含まれる最大の開集合．
• $x\in U_\epsilon(x)\subset A$ となる $\epsilon>0$ が存在するような $x$ 全体．

また、$A$ の閉包についても、同値な条件として、

• $A$ を含む最小の閉集合．
• 任意の $\epsilon>0$ に対して、$x\in U_\epsilon(x)\cap A\neq \emptyset$ となる $x$ 全体．

もあります．これらのことが同値であることを示す問題が今日は見受けられました．

これらの同値性について、講義の方の先生の通達で、演習をしておいてくださいとの依頼されています．

それについては、HP(リンク)の補足プリントにおきました．

p-進位相
についての問題もありました．

$p$-進位相は、距離空間ですが、非アルキメデス的距離を持ちます．

$p$ を素数として、
${\mathbb Z}$ 上の $p$-進位相とは、距離関数 $d$ を $d(n,m)=\varphi_p(n-m)$ とし、$\varphi_p$ は以下のようにして定義します．
$\varphi_p$ は、$N$ を整数として、$N=ap^k$ とかきます．
ここで $a$ は $p$ と互いに素である場合、$\varphi_p(N)=2^{-k}$ と定義し、$N=0$ の場合、$\varphi_p(N)=0$ とします．

この距離は、普通の距離空間の関係以上に、

任意の $x,y,z$ に対して、
$$d(x,y)\le \max\{d(x,z),d(z,y)\}\ \ \ \ \ (\ast)$$
が成り立ちます．

この式が成り立てば、距離空間の三角不等式、$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$
が成り立ちます．$(\ast)$ の関係式が満たされる距離を非アルキメデス距離といいます．

${\mathbb Z}$ に $p$-進位相を与えるとします． $d$ を $p$-進距離とします．

今回の問題では、$U(x,\epsilon)=\{y\in X|d(x,y)<\epsilon\}$ が閉集合となることをいうという問題もありました．

$U(n,\epsilon)$ はどのような集合かというと、
$U(n,\epsilon)=\{m|\varphi_p(n-m)\le \epsilon\}=\{n+\alpha p^k|\alpha\in {\mathbb Z},k\ge -\log_2\epsilon\}$
となり、ある程度大きい $k$ によって、 $p^k$ によって割り切れる数を $n$ に
足した数全体です．
とくに、$U(n,\epsilon)$ は無限個の元が含まれます．


２点以上の要素をもつ集合上の非アルキメデス距離空間 $X$ は、以下の性質を満たします．

• $U(x,\epsilon))$ は閉集合
• 非連結

最初の主張は、以下のようにして示します．

$y\in\text{Cl}( U(x,\epsilon))$ とすると、$U(y,\epsilon)\cap U(x,\epsilon)\neq \emptyset$ となります．その $z\in U(y,\epsilon)\cap U(x,\epsilon)$ とすると、$d(x,y)\le \max\{d(x,z),d(y,z)\}<\epsilon$ となります．
よって、$\text{Cl}(U(x,\epsilon))=U(x,\epsilon)$ となります．
つまり、$U(x,\epsilon)$ は閉集合ということになります．

特に、$\{U(x,\epsilon)\}$ は、開かつ閉な近傍をもつ基本近傍系となるので、
非アルキメデス距離をもつ空間の位相は0次元(zero-dimensional)となります．

上の２つ目の主張を示します．

まず、位相空間 $X$ が連結であるとは、2つの違いに交わらない、空ではない2つの開集合の和集合ではないことをいいます．

上記の位相空間は、2点以上あるので、それを、$p,q$ としておきます．
ここで、$p,q$ の間の距離より小さく正の実数 $\epsilon$ を取っておけば、
$U(p,\epsilon)$ は、$q$ を含まない $p$ の開近傍となります．
よって、$X=U(p,\epsilon)\cup U(p,\epsilon)^c$ とすれば、$p\in U(p,\epsilon)$ かつ $q\in U(p,\epsilon)^c$ となり、もちろん交わりはありません．
上記のことから、$U(p,\epsilon)$, $U(p,\epsilon)^c$ はどちらも空ではない開集合です．
ゆえに、この空間は非連結となります．

${\mathbb Z}$ 上の $p$-進距離空間は(2点以上あり)、$n$ を任意の整数とすると、$U(n,\epsilon)$ と $U(n,\epsilon)^c$ の(共通部分のない)開集合の和集合です．よって、${\mathbb Z}$ 上の $p$-進位相として連結ではないということになります．

$p$-進距離空間は、非コンパクト空間ですが、これは
また演習で問題にしますので、解いてください．

$p\neq 2$であるとき、
$1$, $1+p$, $1+p+p^2$, $1+p+p^2+p^3$, $\cdots$

なる点列を考えるとうまくいきます．
また、この距離における完備化(コーシー点列の収束先を全て付け加えること)をされた
空間を考えると、コンパクトになります．それを $p$-進整数といい、
数論の一部の世界では、崇め奉られています．