[場所1E103（月曜日4限）]
HPに行く．
今回は、以下の問題についてやった人がいました．
収束点列
位相空間 X の中の点列 \{x_n\} が収束点列とは、x\in X が存在して、
任意の x の開近傍 U に対して、\{x_n\} の中の有限個を除いて、x_n\in U となる
ことを言います．
別な言い方をすれば、任意の開近傍 U に対して、ある自然数 N が存在して、 n\ge N なる任意の n に対して x_n\in U となる、となります．
距離空間の場合には、任意の開近傍の代わりに、x を含む任意の開球 U(x,\epsilon) に変えて成り立つもので十分です.
また、\{x_n\} がコーシー列であるとは、それが、距離区間の点列であり、
任意の \epsilon>0 に対してある自然数 N が存在して、N\le n,m なる任意の自然数 n,m に対して、d(x_n,x_m)\le \epsilon となることをいいます．
距離空間において、コーシー列と収束点列の違いは、
収束点列は収束先が存在する(一意性は問わない)が、コーシー列は、収束先が存在しなくてもよいという点です．
例えば、正の実数からなる空間 X={\mathbb R}_{>0} に通常の距離位相を入れておけば、
\{1/n\} はコーシー列ですが、収束先が X に存在しないので、収束点列では
ありません.
今回示してくれたように、距離空間の部分集合 F に対して、F が閉集合であることと、F の中のコーシー点列が F 内に収束点を持つことは同値です．
また、上の収束点列の定義を用いれば、
f:X\to Y が位相空間の間の連続写像とすると、
\{x_n\} が収束点列であるなら、\{f(x_n)\} が Y で収束点列となります．
つまり、連続であるなら、収束点列を収束点列に移すといえます．
もちろん、距離空間の間の連続写像であれば、コーシー列はコーシー列に移ります．
商写像
商写像について解いている人がいました
まずは定義から
写像 f:(X,\mathcal{O}_X)\to (Y,\mathcal{O}_Y) が商写像であるというのは、f が全射であり、
右から左へ向かう性質は、f が連続であることと同値です．
なので、商写像は全射連続写像が、左から右へ向かう性質をもつものともいえます.
その時の Y 上の位相
f:X\to Y が商写像であるとき、Y に入る位相のことを f による商位相といいます．
言い換えれば、位相空間 X から、ある集合 Y 上に全射 f:X\to Y があるとき、 上の商写像の定義を満たすように Y 上に一意的に位相を定めることができ、それを Y の商位相だということができます．Y 上の位相が X から一意的に誘導されるので誘導位相ということもあります．
極大性としての商位相
普通、f:X\to Y は Y に開集合が少なければ少ないほど連続になりやすいです．
極端な話、 Y が密着位相であれば、どんな写像も連続です．
f が商写像となるような Y 上の位相は、f^{-1} により X に引き戻して開集合になるものはすべて Y の開集合として付け加えているので、Y 上の商位相は、f が連続全射となる目一杯の開集合を Y に入れているということになります．
f が全射であることから、X において f の逆像の点をすべて同一視してできる集合(商空間)は Y と一致します．つまり、同一視 X/\sim=Y が存在します．Y 上の商位相と、X/\sim 上に自然に定まる位相( V=f^{-1}(U) が X の開集合となるとき V/\sim を X/\sim 上の開集合とする )はこの同一視により、同相となります．
(X/\sim,\mathcal{O}_{X,f})\cong (Y,\mathcal{O}_Y)
とかけます．
ここで、\mathcal{O}_{X,f} を商空間に自然に定まる位相とし、\mathcal{O}_{Y} を Y 上の商位相とする．
HPに行く．
今回は、以下の問題についてやった人がいました．
収束点列
位相空間 X の中の点列 \{x_n\} が収束点列とは、x\in X が存在して、
任意の x の開近傍 U に対して、\{x_n\} の中の有限個を除いて、x_n\in U となる
ことを言います．
別な言い方をすれば、任意の開近傍 U に対して、ある自然数 N が存在して、 n\ge N なる任意の n に対して x_n\in U となる、となります．
距離空間の場合には、任意の開近傍の代わりに、x を含む任意の開球 U(x,\epsilon) に変えて成り立つもので十分です.
また、\{x_n\} がコーシー列であるとは、それが、距離区間の点列であり、
任意の \epsilon>0 に対してある自然数 N が存在して、N\le n,m なる任意の自然数 n,m に対して、d(x_n,x_m)\le \epsilon となることをいいます．
距離空間において、コーシー列と収束点列の違いは、
収束点列は収束先が存在する(一意性は問わない)が、コーシー列は、収束先が存在しなくてもよいという点です．
例えば、正の実数からなる空間 X={\mathbb R}_{>0} に通常の距離位相を入れておけば、
\{1/n\} はコーシー列ですが、収束先が X に存在しないので、収束点列では
ありません.
今回示してくれたように、距離空間の部分集合 F に対して、F が閉集合であることと、F の中のコーシー点列が F 内に収束点を持つことは同値です．
また、上の収束点列の定義を用いれば、
f:X\to Y が位相空間の間の連続写像とすると、
\{x_n\} が収束点列であるなら、\{f(x_n)\} が Y で収束点列となります．
つまり、連続であるなら、収束点列を収束点列に移すといえます．
もちろん、距離空間の間の連続写像であれば、コーシー列はコーシー列に移ります．
商写像
商写像について解いている人がいました
まずは定義から
写像 f:(X,\mathcal{O}_X)\to (Y,\mathcal{O}_Y) が商写像であるというのは、f が全射であり、
f^{-1}(U)\in \mathcal{O}_X\Leftrightarrow U\in \mathcal{O}_Y
を満たすものを言います．右から左へ向かう性質は、f が連続であることと同値です．
なので、商写像は全射連続写像が、左から右へ向かう性質をもつものともいえます.
その時の Y 上の位相
f:X\to Y が商写像であるとき、Y に入る位相のことを f による商位相といいます．
言い換えれば、位相空間 X から、ある集合 Y 上に全射 f:X\to Y があるとき、 上の商写像の定義を満たすように Y 上に一意的に位相を定めることができ、それを Y の商位相だということができます．Y 上の位相が X から一意的に誘導されるので誘導位相ということもあります．
普通、f:X\to Y は Y に開集合が少なければ少ないほど連続になりやすいです．
極端な話、 Y が密着位相であれば、どんな写像も連続です．
f が商写像となるような Y 上の位相は、f^{-1} により X に引き戻して開集合になるものはすべて Y の開集合として付け加えているので、Y 上の商位相は、f が連続全射となる目一杯の開集合を Y に入れているということになります．
商空間としての商位相
商写像や商位相の“商"とは商空間の商のことです．
商写像や商位相の“商"とは商空間の商のことです．
(X/\sim,\mathcal{O}_{X,f})\cong (Y,\mathcal{O}_Y)
とかけます．
ここで、\mathcal{O}_{X,f} を商空間に自然に定まる位相とし、\mathcal{O}_{Y} を Y 上の商位相とする．
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