トポロジー入門演習(第6回)

[場所1E103（月曜日4限）]

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今日はトポロジー演習を行いました。

相対位相

相対位相が位相となるという問題を２回やりました．

相対位相を定義します．

位相空間 $(X,{\frak T})$ と部分集合 $Y\subset X$ に対して
$${\frak T}\cap Y=\{U\cap Y|U\in \frak{T}\}$$
とすると、${\frak T}\cap Y$ は $Y$ の位相を与えます．

$(Y,{\frak T}\cap Y)$ を相対位相と言います．

相対位相は部分集合の位相のことですが、
$Y$ において開集合であることと、それが、$X$ において開集合であることとは違います．

例えば、
$X={\mathbb R}^2$ として、
$Y=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2|x^2+y^2\le 1\}$ とします．このとき、
$U=Y\cap \{x>0\}=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2|x^2+y^2\le 1,x>0\}$ とすると、

定義から、$U$ は $Y$ の開集合です．

しかし、この集合の補空間の $x>0$ の部分から $U$ に $x^2+y^2=1$ のある点に近づくようにします．例えば、
$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{n},\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{n}\right)$$
なる点列を取ります．
そうすると、$U$ の補空間において収束しませんので、${\mathbb R}^2-U$ は閉集合ではありません．よって、$U$ は $X={\mathbb R}^2$ の開集合ではないということになります．


これは、$Y$ が ${\mathbb R}^2$ が開集合ではないということから由来します．また、部分集合 $Y$ が $X$ の開集合であるなら、$Y$ 上の相対位相において、$Y$ の開集合は、 $X$ の開集合にもなります．また、$X$ の開集合は、$Y$ に制限すれば、$Y$ の開集合になります．

同じように、相対位相において閉集合であるかどうかにおいては、 $Y$ が $X$ の閉集合であれば、 $Y$ の閉集合は $X$ の閉集合になるし、$X$ の閉集合を $Y$ に制限すれば $Y$ 上の閉集合になります．


部分集合がもつ位相は、相対位相だけとは限りません．全体の空間 $(X,{\frak T})$ の位相を無視すれば、いくらでも作ることができます．

例えば、有理数全体の空間 ${\mathbb Q}$ には、離散位相、つまり、${\mathbb Q}$ を並び替えた、 ${\mathbb N}$ の間の全単射
$${\mathbb Q}\to {\mathbb N}$$
がありますが、${\mathbb N}$ 上の離散位相を ${\mathbb Q}$ に持ってくることができます．

これは、${\mathbb Q}\subset {\mathbb R}$ の相対位相としての位相は異なります．
どちらも距離空間ですが、お互い同値ではありません．


遺伝性

遺伝性というのは、位相空間 $(X,{\frak T})$ の性質がその相対位相にも引き継がれるかということです．引き継がれる場合、遺伝性をもつ（遺伝的）といいます．

第一可算（各点において可算近傍基を持つこと）であることは、遺伝的です．
また、第二可算（可算個の開基をもつこと）も遺伝的です．

可分であることは、遺伝的ではありません．
例えば、こちらにあるように、ゾルゲンフライ平面は、可分ですが、その部分集合で、可分とならないような部分空間を作る事ができます．
ですので、可分であることは遺伝的ではないことになります．
可分ではない空間は、${\mathbb R}$ 上の離散空間があります．


平面上の部分集合

${\mathbb R}^2$ 上の部分集合には通常の距離空間を誘導することができます．

例えば、円周 $S^1=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2|x^2+y^2=1\}$ には相対位相を入れることができますが、これは ${\mathbb R}\to S^1$ において、$\varphi:{\mathbb R}\ni\theta\mapsto (\cos\theta,\sin\theta)\in {\mathbb R}$ のように
写像をつくると、この $S^1$ 上の集合上の相対位相は、$\varphi$ によって、
${\mathbb R}$ 上の通常の距離位相によって$\varphi$ は連続になります．
つまり、$S^1$ 上の通常の距離位相は相対位相と同相になっています．


このように、平面上に（少なくとも滑らかに）埋め込まれた閉集合は、相対位相と、その
閉集合に入れた通常の距離位相が同相になります．

例えば、連続関数 $y=f(x)$ があったときに、
$$\{(x,f(x))\in{\mathbb R}^2|x\in{\mathbb R}\}\subset {\mathbb R}^2$$

上の相対位相は、${\mathbb R}$ と同相になります．