[場所1E103(月曜日4限)]
HPに行く.
今日はトポロジー演習を行いました。
相対位相
相対位相が位相となるという問題を2回やりました.
相対位相を定義します.
位相空間 $(X,{\frak T})$ と部分集合 $Y\subset X$ に対して
$${\frak T}\cap Y=\{U\cap Y|U\in \frak{T}\}$$
とすると、${\frak T}\cap Y$ は $Y$ の位相を与えます.
$(Y,{\frak T}\cap Y)$ を相対位相と言います.
相対位相は部分集合の位相のことですが、
$Y$ において開集合であることと、それが、$X$ において開集合であることとは違います.
例えば、
$X={\mathbb R}^2$ として、
$Y=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2|x^2+y^2\le 1\}$ とします.このとき、
$U=Y\cap \{x>0\}=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2|x^2+y^2\le 1,x>0\}$ とすると、
定義から、$U$ は $Y$ の開集合です.
しかし、この集合の補空間の $x>0$ の部分から $U$ に $x^2+y^2=1$ のある点に近づくようにします.例えば、
$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{n},\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{n}\right)$$
なる点列を取ります.
そうすると、$U$ の補空間において収束しませんので、${\mathbb R}^2-U$ は閉集合ではありません.よって、$U$ は $X={\mathbb R}^2$ の開集合ではないということになります.
これは、$Y$ が ${\mathbb R}^2$ が開集合ではないということから由来します.また、部分集合 $Y$ が $X$ の開集合であるなら、$Y$ 上の相対位相において、$Y$ の開集合は、 $X$ の開集合にもなります.また、$X$ の開集合は、$Y$ に制限すれば、$Y$ の開集合になります.
同じように、相対位相において閉集合であるかどうかにおいては、 $Y$ が $X$ の閉集合であれば、 $Y$ の閉集合は $X$ の閉集合になるし、$X$ の閉集合を $Y$ に制限すれば $Y$ 上の閉集合になります.
部分集合がもつ位相は、相対位相だけとは限りません.全体の空間 $(X,{\frak T})$ の位相を無視すれば、いくらでも作ることができます.
例えば、有理数全体の空間 ${\mathbb Q}$ には、離散位相、つまり、${\mathbb Q}$ を並び替えた、 ${\mathbb N}$ の間の全単射
$${\mathbb Q}\to {\mathbb N}$$
がありますが、${\mathbb N}$ 上の離散位相を ${\mathbb Q}$ に持ってくることができます.
これは、${\mathbb Q}\subset {\mathbb R}$ の相対位相としての位相は異なります.
どちらも距離空間ですが、お互い同値ではありません.
遺伝性
遺伝性というのは、位相空間 $(X,{\frak T})$ の性質がその相対位相にも引き継がれるかということです.引き継がれる場合、遺伝性をもつ(遺伝的)といいます.
第一可算(各点において可算近傍基を持つこと)であることは、遺伝的です.
また、第二可算(可算個の開基をもつこと)も遺伝的です.
可分であることは、遺伝的ではありません.
例えば、こちらにあるように、ゾルゲンフライ平面は、可分ですが、その部分集合で、可分とならないような部分空間を作る事ができます.
ですので、可分であることは遺伝的ではないことになります.
可分ではない空間は、${\mathbb R}$ 上の離散空間があります.
平面上の部分集合
${\mathbb R}^2$ 上の部分集合には通常の距離空間を誘導することができます.
例えば、円周 $S^1=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2|x^2+y^2=1\}$ には相対位相を入れることができますが、これは ${\mathbb R}\to S^1$ において、$\varphi:{\mathbb R}\ni\theta\mapsto (\cos\theta,\sin\theta)\in {\mathbb R}$ のように
写像をつくると、この $S^1$ 上の集合上の相対位相は、$\varphi$ によって、
${\mathbb R}$ 上の通常の距離位相によって$\varphi$ は連続になります.
つまり、$S^1$ 上の通常の距離位相は相対位相と同相になっています.
このように、平面上に(少なくとも滑らかに)埋め込まれた閉集合は、相対位相と、その
閉集合に入れた通常の距離位相が同相になります.
例えば、連続関数 $y=f(x)$ があったときに、
$$\{(x,f(x))\in{\mathbb R}^2|x\in{\mathbb R}\}\subset {\mathbb R}^2$$
上の相対位相は、${\mathbb R}$ と同相になります.
今日はトポロジー演習を行いました。
相対位相
相対位相が位相となるという問題を2回やりました.
相対位相を定義します.
位相空間 $(X,{\frak T})$ と部分集合 $Y\subset X$ に対して
$${\frak T}\cap Y=\{U\cap Y|U\in \frak{T}\}$$
とすると、${\frak T}\cap Y$ は $Y$ の位相を与えます.
$(Y,{\frak T}\cap Y)$ を相対位相と言います.
相対位相は部分集合の位相のことですが、
$Y$ において開集合であることと、それが、$X$ において開集合であることとは違います.
例えば、
$X={\mathbb R}^2$ として、
$Y=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2|x^2+y^2\le 1\}$ とします.このとき、
$U=Y\cap \{x>0\}=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2|x^2+y^2\le 1,x>0\}$ とすると、
定義から、$U$ は $Y$ の開集合です.
しかし、この集合の補空間の $x>0$ の部分から $U$ に $x^2+y^2=1$ のある点に近づくようにします.例えば、
$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{n},\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{n}\right)$$
なる点列を取ります.
そうすると、$U$ の補空間において収束しませんので、${\mathbb R}^2-U$ は閉集合ではありません.よって、$U$ は $X={\mathbb R}^2$ の開集合ではないということになります.
これは、$Y$ が ${\mathbb R}^2$ が開集合ではないということから由来します.また、部分集合 $Y$ が $X$ の開集合であるなら、$Y$ 上の相対位相において、$Y$ の開集合は、 $X$ の開集合にもなります.また、$X$ の開集合は、$Y$ に制限すれば、$Y$ の開集合になります.
同じように、相対位相において閉集合であるかどうかにおいては、 $Y$ が $X$ の閉集合であれば、 $Y$ の閉集合は $X$ の閉集合になるし、$X$ の閉集合を $Y$ に制限すれば $Y$ 上の閉集合になります.
部分集合がもつ位相は、相対位相だけとは限りません.全体の空間 $(X,{\frak T})$ の位相を無視すれば、いくらでも作ることができます.
例えば、有理数全体の空間 ${\mathbb Q}$ には、離散位相、つまり、${\mathbb Q}$ を並び替えた、 ${\mathbb N}$ の間の全単射
$${\mathbb Q}\to {\mathbb N}$$
がありますが、${\mathbb N}$ 上の離散位相を ${\mathbb Q}$ に持ってくることができます.
これは、${\mathbb Q}\subset {\mathbb R}$ の相対位相としての位相は異なります.
どちらも距離空間ですが、お互い同値ではありません.
遺伝性
遺伝性というのは、位相空間 $(X,{\frak T})$ の性質がその相対位相にも引き継がれるかということです.引き継がれる場合、遺伝性をもつ(遺伝的)といいます.
第一可算(各点において可算近傍基を持つこと)であることは、遺伝的です.
また、第二可算(可算個の開基をもつこと)も遺伝的です.
可分であることは、遺伝的ではありません.
例えば、こちらにあるように、ゾルゲンフライ平面は、可分ですが、その部分集合で、可分とならないような部分空間を作る事ができます.
ですので、可分であることは遺伝的ではないことになります.
可分ではない空間は、${\mathbb R}$ 上の離散空間があります.
平面上の部分集合
${\mathbb R}^2$ 上の部分集合には通常の距離空間を誘導することができます.
例えば、円周 $S^1=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2|x^2+y^2=1\}$ には相対位相を入れることができますが、これは ${\mathbb R}\to S^1$ において、$\varphi:{\mathbb R}\ni\theta\mapsto (\cos\theta,\sin\theta)\in {\mathbb R}$ のように
写像をつくると、この $S^1$ 上の集合上の相対位相は、$\varphi$ によって、
${\mathbb R}$ 上の通常の距離位相によって$\varphi$ は連続になります.
つまり、$S^1$ 上の通常の距離位相は相対位相と同相になっています.
このように、平面上に(少なくとも滑らかに)埋め込まれた閉集合は、相対位相と、その
閉集合に入れた通常の距離位相が同相になります.
例えば、連続関数 $y=f(x)$ があったときに、
$$\{(x,f(x))\in{\mathbb R}^2|x\in{\mathbb R}\}\subset {\mathbb R}^2$$
上の相対位相は、${\mathbb R}$ と同相になります.
0 件のコメント:
コメントを投稿