トポロジー入門演習(第11回)

[場所1E202（月曜日4限）]

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昨年最後のトポロジー入門演習は、ゾルゲンフライ平面についてと、
円周の商位相と相対位相との一致についてやりました。

ゾルゲンフライ平面
ゾルゲンフライ平面とは、ゾルゲンフライ直線の２つの直積として与えられます。

つまり、$\{[a,b)\times [c,d)|a,b,c,d\in {\mathbb R}\}$ を開基とする位相空間
ということになります。このとき、問題は、

第一可算公理を満たす.
相対位相として非可算離散位相となる部分空間を含む.
第二可算公理を満たさない.

を挙げておきました。

ゾルゲンフライ直線は、$[a,b)$ を開基とする位相空間と定義します。
よって、ゾルゲンフライ平面は、$[a,b)\times [c,d)$ を開基とする
位相空間となります。

ゾルゲンフライ平面が第一可算公理を満たすことは、

$\{[a,a+1/n)\times [c,c+1/n)\in N((a,c)|n\in {\mathbb N})\}$ が基本近傍系になる
ことを示せばよい。

(証明)
$(a,c)\in {\mathbb R}^2$ に対して、$U\in N((a,c))$ とすると、
$[a,b)\times [c,d)\subset N((a,c))$ となる基底が存在し、$[a,b)\times [c,d)\subset U$ となります。
また、$a+1/n<b$ かつ $c+1/n<d$ となる$n$ が存在するので、$[a,a+1/n)\times [c,c+1/n)\subset [a,b)\times [c,d)\subset U$ となり、

$\{[a,a+1/n)\times [c,c+1/n)\in N((a,c)|n\in {\mathbb N})\}$ が基本近傍系になる。
が基本近傍系となります。

${\mathbb R}^2$ に、$x+y=0$ となる部分空間は、非可算な離散空間であります。

第二可算公理を満たさないことは、
第二可算公理を満たす空間の任意の部分空間も第二可算公理を満たすこと(*)
からわかります。

(*) の証明は、
$\mathcal{B}$ を $X$ の可算開基とします。
このとき、$A\subset X$ の開基として、$\mathcal{B}|_A=\{B\cap A|B\in \mathcal{B}\}$
として求められる。$\mathcal{B}|_A$ が可算であることは明らかとして、
開基であることは、$U$ を $A$ の開集合とします。
このとき、$U$ は $X$ の開集合 $V$ を用いて $V\cap A$ と書かれます。
$\mathcal{B}$ は $X$ の開基であることから、$V=\cup_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda$
となります。$B_\lambda\in \mathcal{B}$ です。

ゆえに、$U=A\cap(\cup_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda)=\cup(A\cap_\lambda B_\lambda)$
となります。 ゆえに、$\mathcal{B}|_A$ は $A$ の開基となります。

いま、ゾルゲンフライ平面は、$x+y=0$ となる部分空間は、第二可算公理を
満たさないので、ゾルゲンフライ平面も第二可算公理を満たしません。

また、$y=0$ となる直線は、ゾルゲンフライ直線となり、この直線も第二可算公理を
満たさないので、ゾルゲンフライ平面も第二可算公理を満たさないと証明してもよいです。

円周の相対位相として位相と商空間としての位相
単位円 ${\mathbb S}^1$ を${\mathbb R}^2$ の相対位相として位相を入れる。
一方、${\mathbb S}^1$ において、${\mathbb R}\to {\mathbb S}^1$ を
$\theta\mapsto (\cos\theta,\sin\theta)$ として定義される商写像からなる商空間
としての位相(商位相)を入れます。

この２つの位相が一致することを示します。
それぞれ、$\mathcal{O}_1,\mathcal{O}_2$ とします。

どちらも、${\mathbb S}^1$ 上の開区間 $\{(\cos\theta,\sin\theta)\in {\mathbb R}^2|a<\theta<b\}$
を開基とする位相であることを示せばよいことになります。

$U\in \mathcal{O}_1$ とする。$p\in U$ とすると、$U={\mathbb S}^1\cap V$ となる
${\mathbb R}^2$ の開集合 $V$ が存在します。
$p\in V$ において、$p\in B_d(p,\epsilon)$ をとり、$\epsilon$ を十分小さくとると、$B_d(p,\epsilon)\cap {\mathbb S}^1$ は、上記の${\mathbb S}^1$ 上の開区間となる。それは開集合なので、$\mathcal{O}_1$ は
${\mathbb S}^1$ 上の開区間が開基となります。

商位相 $\mathcal{O}_2$ は、$U\in \mathcal{O}_1$ に対して $pr:{\mathbb R}\to {\mathbb S}^1$ としたときに、
$pr^{-1}(U)$ が ${\mathbb R}$ の開集合となるものとして定義されます。
$p\in U$ に対して、$\forall q\in pr^{-1}(p)$ が $q\in(a,b)\subset pr^{-1}(U)$ となります。
$(a,b)$ は開区間。
よって、$pr((a,b))$ は、$b-a\ge 2\pi$ であるかどうかによって
${\mathbb S}^1$ もしくは、${\mathbb S}^1$ 上の開区間となります。
ゆえに、$p\in pr((a,b))\subset U$ なので、やはり、$\mathcal{O}_2$ も
${\mathbb S}^1$ 上の開区間を開基とする位相となります。