[場所1E102（水曜日4限）]
配付プリント
HPに行く
今回も重積分を行いました．
いつも、重積分は何回かやっても素通りしてしまったり、応用ばかりやってしまうので
今回は基本に立ち返ってもう一度やり直しました．
前回のプリントの採点をしていて
T を原点 (\pi,\pi),(\pi,-\pi) を頂点とする三角形に対して、
\int\int_Tx^2\sin(y-x)dxdy=2\int_0^{\pi}\left(\int_{y}^{\pi}x^2\sin(y-x)dx\right)dy
となるような解答が多数ありました．
図形 T は x 軸により線対称なので、重積分も２倍だと思ったのでしょうか？
領域 D が平面上の対称軸に対して対称であり、関数がその軸に対して
対称な場合、その積分値は片側の積分の２倍になる．
例えば、下の三角形 D は x 軸に関して対称です．
この三角形の上側の三角を D_1 とし、下側の三角を D_2 とします．
さらに、 x 軸に関して関数が対称であるとします．
関数が x 軸に関して対称であるとは、f(x,-y)=f(x,y) つまり、
つまり、線によって対称な点同士で、同じ値をとる関数ということです．
このとき、
\int\int_Tf(x,y)dxdy=2\int\int_{D_1}f(x,y)dxdy=2\int\int_{D_2}f(x,y)dxdy
となります．つまり、\int\int_{D_1}f(x,y)dxdy=\int\int_{D_2}f(x,y)dxdy
であるということです．
具体的に上のような対称な関数として、f(x,y)=y^2 を使って計算をしてみます．
\int\int_{D_1}y^2dxdy=\int_0^{\pi}\left(\int_{y}^{\pi}y^2dx\right)dy=\int_0^{\pi}\left[y^2x\right]_y^{\pi}dy=\int_0^{\pi}y^2(\pi-y)dy
問題9-2
(1) は普通に極座標で計算をすればよいですが、
(2) は変数変換をした方が良いですね．u=x+y や v=x-y などと置くのが定番ですが．
このようにすると、領域がどのように変化するか考えましょう．
まずは、どのような図形に移るか、図形を描いてみるところから始めてください．
問題9-1(2) のように、図形をまず、描く問題を最初に持ってこればよかったかもしれません．図がかけたら、ヤコビアンを計算します．計算するのは、\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} であって、\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} でないようにしましょう．
また、行列式がうまく計算できるかどうかわかりませんが、
スカラー倍( s 倍)の行列 sA の行列式は、 s^n\det(A) であることに気をつけて下さい．
ここで、n は A の行列のサイズです．
2\times 2 のサイズの行列の場合、 \det(s\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix})=s^2\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
となります．
配付プリント
HPに行く
今回も重積分を行いました．
いつも、重積分は何回かやっても素通りしてしまったり、応用ばかりやってしまうので
今回は基本に立ち返ってもう一度やり直しました．
前回のプリントの採点をしていて
T を原点 (\pi,\pi),(\pi,-\pi) を頂点とする三角形に対して、
\int\int_Tx^2\sin(y-x)dxdy=2\int_0^{\pi}\left(\int_{y}^{\pi}x^2\sin(y-x)dx\right)dy
となるような解答が多数ありました．
図形 T は x 軸により線対称なので、重積分も２倍だと思ったのでしょうか？
領域 D が平面上の対称軸に対して対称であり、関数がその軸に対して
対称な場合、その積分値は片側の積分の２倍になる．
例えば、下の三角形 D は x 軸に関して対称です．
この三角形の上側の三角を D_1 とし、下側の三角を D_2 とします．
さらに、 x 軸に関して関数が対称であるとします．
関数が x 軸に関して対称であるとは、f(x,-y)=f(x,y) つまり、
つまり、線によって対称な点同士で、同じ値をとる関数ということです．
このとき、
\int\int_Tf(x,y)dxdy=2\int\int_{D_1}f(x,y)dxdy=2\int\int_{D_2}f(x,y)dxdy
となります．つまり、\int\int_{D_1}f(x,y)dxdy=\int\int_{D_2}f(x,y)dxdy
であるということです．
具体的に上のような対称な関数として、f(x,y)=y^2 を使って計算をしてみます．
\int\int_{D_1}y^2dxdy=\int_0^{\pi}\left(\int_{y}^{\pi}y^2dx\right)dy=\int_0^{\pi}\left[y^2x\right]_y^{\pi}dy=\int_0^{\pi}y^2(\pi-y)dy
=\left[\frac{\pi}{3}y^3-\frac{y^4}{4}\right]_0^{\pi}=\frac{\pi^4}{3}-\frac{\pi^4}{4}=\frac{\pi^4}{12}
であり、下側の三角形の積分は
\int\int_{D_2}y^2dxdy=\int_{-\pi}^{0}\left(\int_{-y}^{\pi}y^2dx\right)dy=\int_{-\pi}^0\left[y^2x\right]_y^{\pi}dy=\int_{-\pi}^0y^2(\pi+y)dy
=\left[\frac{\pi y^3}{3}+\frac{y^4}{4}\right]_{-\pi}^0=\frac{\pi^4}{3}-\frac{\pi^4}{4}=\frac{\pi^4}{12}
となります．よって値は等しくなります．
図形も、関数もこのように対称ではなければ、このようなことは普通起こりません．
今計算した例は、図形と関数が両方対称だったので等しくなりました．
問題9-1
また、[1,2]\times [x,-x] が表すものは長方形か、台形か？という変な問題を
作りました．何が言いたいのか？と思うかもしれませんが、
実際、[1,2]\times [-x,x] のような記号を使っている人がいました．
[1,2] から好きな実数と、[-x,x] から好きな実数を選んでペアにするわけだから、
[1,2]\times [-x,x] は、長方形ではないでしょうか？
つまり、\{(a,b)|-1\le a\le 1,-x\le b\le x\} です．
x は [1,2] の x 座標を表すなんてどこにも書いてありません．
なので、 x は定数です．
たとえば、x が第一座標を表して、台形みたいにしたいのなら、
\{(x,y)\in {\mathbb R}^2|1\le x\le 2,-x\le y\le x\} と書かないといけません．
このようにすると、平面上の台形を表します．
しかし、[1,2]\times [-x,x] はどう頑張っても台形には見えません。
長方形にしかみえません。
であり、下側の三角形の積分は
\int\int_{D_2}y^2dxdy=\int_{-\pi}^{0}\left(\int_{-y}^{\pi}y^2dx\right)dy=\int_{-\pi}^0\left[y^2x\right]_y^{\pi}dy=\int_{-\pi}^0y^2(\pi+y)dy
=\left[\frac{\pi y^3}{3}+\frac{y^4}{4}\right]_{-\pi}^0=\frac{\pi^4}{3}-\frac{\pi^4}{4}=\frac{\pi^4}{12}
となります．よって値は等しくなります．
図形も、関数もこのように対称ではなければ、このようなことは普通起こりません．
今計算した例は、図形と関数が両方対称だったので等しくなりました．
問題9-1
また、[1,2]\times [x,-x] が表すものは長方形か、台形か？という変な問題を
作りました．何が言いたいのか？と思うかもしれませんが、
実際、[1,2]\times [-x,x] のような記号を使っている人がいました．
[1,2] から好きな実数と、[-x,x] から好きな実数を選んでペアにするわけだから、
[1,2]\times [-x,x] は、長方形ではないでしょうか？
つまり、\{(a,b)|-1\le a\le 1,-x\le b\le x\} です．
x は [1,2] の x 座標を表すなんてどこにも書いてありません．
なので、 x は定数です．
たとえば、x が第一座標を表して、台形みたいにしたいのなら、
\{(x,y)\in {\mathbb R}^2|1\le x\le 2,-x\le y\le x\} と書かないといけません．
このようにすると、平面上の台形を表します．
しかし、[1,2]\times [-x,x] はどう頑張っても台形には見えません。
長方形にしかみえません。
問題9-2
(1) は普通に極座標で計算をすればよいですが、
(2) は変数変換をした方が良いですね．u=x+y や v=x-y などと置くのが定番ですが．
このようにすると、領域がどのように変化するか考えましょう．
まずは、どのような図形に移るか、図形を描いてみるところから始めてください．
問題9-1(2) のように、図形をまず、描く問題を最初に持ってこればよかったかもしれません．図がかけたら、ヤコビアンを計算します．計算するのは、\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} であって、\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} でないようにしましょう．
また、行列式がうまく計算できるかどうかわかりませんが、
スカラー倍( s 倍)の行列 sA の行列式は、 s^n\det(A) であることに気をつけて下さい．
ここで、n は A の行列のサイズです．
2\times 2 のサイズの行列の場合、 \det(s\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix})=s^2\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
となります．
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