$\frac{1}{\cos^nx}$ の原始関数

$$\frac{1}{\cos^nx}$$
の積分を計算します．

$$\int_0^x\frac{d\theta}{\cos\theta}=\text{Arsinh}(\tan (x))$$
に一致することをこちら(リンク)で見ました．

なので、ここで、
$$C_n(x)=\int_0^{\text{Arctan}(x)}\frac{d\theta}{\cos^n\theta}$$
とおきます．

このとき、$s(\theta)=\tan\theta$ とおくと、
$ds=\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta=(1+s^2)d\theta$ なので、
$$C_n(x)=\int_0^{\text{Arctan}{x}}\left(\frac{1}{\cos^2 \theta}\right)^{\frac{n}{2}}d\theta$$
$$=\int_0^{x}(1+s^2)^{\frac{n}{2}-1}ds$$
となります．つまり、この無理関数の積分が計算できれば
良いことになります．

$n=2k$ の場合、

$$C_{2k}(x)=\int_0^x(1+s^2)^{k-1}ds$$

となり、$C_{2k}(x)$ は次数が $2k-1$ 次の多項式(奇関数)になります．
$n=2k-1$ の場合

部分積分をすることで、

$$C_{2k-1}(x)=\int_0^x(1+s^2)^{k-\frac{3}{2}}ds$$

$$=\left[(1+s^2)^{k-\frac{3}{2}}s\right]_0^x-\int_0^x\left(k-\frac{3}{2}\right)(1+s^2)^{k-\frac{5}{2}}s\cdot 2sds$$

$$=(1+x^2)^{k-\frac{3}{2}}x-(2k-3)\int_0^x(1+s^2)^{k-\frac{5}{2}}(1+s^2-1)ds$$
$$=(1+x^2)^{k-\frac{3}{2}}x-(2k-3)(C_{2k-1}(x)-C_{2k-3}(x))$$
となりよって、
$$(2k-2)C_{2k-1}(x)=(1+x^2)^{k-\frac{3}{2}}x+(2k-3)C_{2k-3}(x)$$

つまり、

$$C_{2k-1}(x)=\frac{1}{2k-2}(1+x^2)^{k-\frac{3}{2}}x+\frac{2k-3}{2k-2}C_{2k-3}(x)$$

という漸化式が得られました．

よって、帰納的に、
$$C_{2k-1}(x)=x\sqrt{1+x^2}F_k(x)+\frac{(2k-3)!!}{(2k-2)!!}\text{Arsinh}(x)$$
であることがわかります．$F_k(x)$ は、ある多項式です．
$C_n(x)$ は、$n$ が偶数より、奇数の方がややこしい関数になりました．

$F_k(x)$ の関数を求めます．
展開すると、$\text{Arsin}(x)$ の成分ではない部分は、
$$\sum_{l=1}^{k-1}\frac{(2k-2l-2)!!}{(2k-2)!!}\frac{(2k-3)!!}{(2k-2l-1)!!}(1+x^2)^{k-l-\frac{1}{2}}x$$
$$=x\sqrt{1+x^2}\sum_{l=0}^{k-2}\frac{(2k-3)!!(2l)!!}{(2k-2)!!(2l+1)!!}(1+x^2)^l$$

となるので、
$$F_k(x)=\sum_{l=0}^{k-2}\frac{(2k-3)!!(2l)!!}{(2k-2)!!(2l+1)!!}(1+x^2)^l$$
となります．

$F_k$ を最初の方から計算していくと、
$F_1(x)=0$,
$F_2(x)=\frac{1}{2}$
$F_3(x)=\frac{1}{8}(2x^2+5)$
$F_4(x)=\frac{1}{48}(8x^4+26x^2+33)$
$F_5(x)=\frac{1}{384}(48x^6+200x^4+326x^2+279)$
$F_6(x)=\frac{1}{1280}(128x^8+656x^6+1368x^4+1490x^2+965)$
となります．

したがって、元々の関数でいえば、
$$\int_0^x\frac{d\theta}{\cos^{2k}(\theta)}=f_n(\tan x)$$
となり、
$$\int_0^x\frac{d\theta}{\cos^{2k-1}(\theta)}=\sin x(1+\tan^2x)g_n(\tan x)+\frac{(2k-3)!!}{(2k-2)!!}\text{Arsinh}(\tan x)$$

のような形になります．$f_n(x),g_n(x)$ はある多項式．