この前手習い塾に顔を出した時、学生たちがやっていた演習問題について書きます．
とても些細なことです．
大学一年生？と思しき人が悩んでいた問題は、
数列 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ が単調減少であることを示しなさい．
というものでした．
私も大学の数学の一教職員ということで、こんなもの何も見ずにできるだろうと
思っていたところ２，３分ほど悩んだ挙句、思わず $n$ を $x$ に変えて微分したら？
と言ってしまいました．
やはり、あると思ってもないのが教養ということでしょうか？
そんな答えではとても思考力は養われませんね．
というわけで、何も見ずに素朴に不等式だけで答えました．
解答は出来てしまえばとても簡単です．
このページをみて演習に答える人がいるかどうかわかりませんが．
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}<\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n}$$
を示せればいいわけで、$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ で両辺を割ってやって、
$$1+\frac{1}{n}<\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n$$
となります．この不等式は、２項定理を使って、
$$\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n>1+\frac{n}{n^2-1}>1+\frac{n}{n^2}=1+\frac{1}{n}$$
となるから成り立ちます．
とても些細なことです．
大学一年生？と思しき人が悩んでいた問題は、
数列 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ が単調減少であることを示しなさい．
というものでした．
私も大学の数学の一教職員ということで、こんなもの何も見ずにできるだろうと
思っていたところ２，３分ほど悩んだ挙句、思わず $n$ を $x$ に変えて微分したら？
と言ってしまいました．
やはり、あると思ってもないのが教養ということでしょうか？
そんな答えではとても思考力は養われませんね．
というわけで、何も見ずに素朴に不等式だけで答えました．
解答は出来てしまえばとても簡単です．
このページをみて演習に答える人がいるかどうかわかりませんが．
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}<\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n}$$
を示せればいいわけで、$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ で両辺を割ってやって、
$$1+\frac{1}{n}<\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n$$
となります．この不等式は、２項定理を使って、
$$\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n>1+\frac{n}{n^2-1}>1+\frac{n}{n^2}=1+\frac{1}{n}$$
となるから成り立ちます．
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