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2015年5月19日火曜日

ネイピア数 e に上から近づく数列

この前手習い塾に顔を出した時、学生たちがやっていた演習問題について書きます.
とても些細なことです.

大学一年生?と思しき人が悩んでいた問題は、

数列 \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} が単調減少であることを示しなさい.

というものでした.
私も大学の数学の一教職員ということで、こんなもの何も見ずにできるだろうと
思っていたところ2,3分ほど悩んだ挙句、思わず nx に変えて微分したら?
と言ってしまいました.
やはり、あると思ってもないのが教養ということでしょうか?

そんな答えではとても思考力は養われませんね.
というわけで、何も見ずに素朴に不等式だけで答えました.
解答は出来てしまえばとても簡単です.
このページをみて演習に答える人がいるかどうかわかりませんが.

 
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}<\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n}

を示せればいいわけで、\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} で両辺を割ってやって、
1+\frac{1}{n}<\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n

となります.この不等式は、2項定理を使って、
\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n>1+\frac{n}{n^2-1}>1+\frac{n}{n^2}=1+\frac{1}{n}

となるから成り立ちます.

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