ラマヌジャンによる等式

前のblog で乗法的関数とその母関数についてやりました．
その続きです．

$\sigma_\alpha(n)$ を約数関数で、$\sum_{d|n}d^\alpha$ と定義します．
また、 $\varphi_\alpha(n)$ を

$$\varphi_\alpha(n)=n^\alpha\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p^{\alpha}})$$

として定義します．
そうすると、この関数は明らかに乗法的関数であり、$\text{id}^\alpha=1\ast \varphi_\alpha$ が成り立ちます．$\text{id}^\alpha$ は $\alpha$ 乗関数です．つまり、$\text{id}^\alpha(n)=n^\alpha$ です．
この式を母関数のレベルで見れば、
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^\alpha}{n^s}=\zeta(s-\alpha)=\zeta(s)\sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi_\alpha(n)}{n^s}$$
となるので、
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi_\alpha(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-\alpha)}{\zeta(s)}$$
となります．

また、メビウス変換をして、$1\ast 1\ast \varphi_\alpha=1\ast \text{id}^\alpha=\sigma_\alpha$
が成り立ちます．母関数にすれば、

$$\zeta(s)\sum_{n=1}^\infty\frac{n^\alpha}{n^s}=\zeta(s)\zeta(s-\alpha)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sigma_\alpha(n)}{n^s}$$

が成り立ちます．もちろん $\alpha=0$ とおけば、こちらにある約数の個数の関数の母関数の等式になります．
この等式も興味深いですが、本橋洋一氏の「素数分布論」にもある次のラマヌジャンの等式

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sigma_\alpha(n)\sigma_\beta(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)\zeta(s-\alpha)\zeta(s-\beta)\zeta(s-\alpha-\beta)}{\zeta(2s-\alpha-\beta)}$$

です．

この証明は下の参考文献に全く同じものがありますが、素人にしてみれば寝転んで眺めただけでは分からなかったので、ここに書いてみます．

$$\sigma_{\alpha}(n)\sigma_\beta(n)=\sum_{d_1|n,d_2|n}d_1^\alpha d_2^\beta=\sum_{[d_1,d_2]|n}d_1^\alpha d_2^\beta$$

ここで、$[d_1,d_2]$ は $d_1,d_2$ の最小公倍数です．

ここで、$n^{-s}$ をかけて和をとる．

そうすると、

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sigma_\alpha(n)\sigma_\beta(n)}{n^s}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\sum_{[d_1,d_2]|n}d_1^\alpha d_2^\beta$$
$$=\sum_{d_1,d_2}\sum_{[d_1,d_2]|n}\frac{d_1^\alpha d_2^\beta}{n^s}=\sum_{d_1,d_2=1}^\infty \sum_{d=1}^\infty \frac{d_1^\alpha d_2^\beta}{d^s[d_1,d_2]^s}$$

となります．ここで、$[d_1,d_2]|n$ となる $n$ の和は $n=d[d_1,d_2]$ とおいて、 $d$ の和として取ることに同値です．

そうすると、$d$ の和と $d_1,d_2$ の和は独立に動くので、もう一度 $d$ と $d_1,d_2$ の和を入れ替えることで、

$$=\sum_{d=1}^\infty \frac{1}{d^s}\sum_{d_1,d_2=1}^\infty \frac{d_1^\alpha d_2^\beta}{[d_1,d_2]^s}=\zeta(s)\sum_{d_1,d_2=1}^\infty \frac{(d_1,d_2)^s}{d_1^{s-\alpha}d_2^{s-\beta}}$$

となります．ここで、$(d_1,d_2)$ は最大公約数です．

最後の等式は、$d_1d_2=[d_1,d_2](d_1,d_2)$ が成り立つからです．

また、メビウス変換から、 $n^s=\sum_{d|n}\varphi_s(d)$ となるので、

$$(d_1,d_2)^s=\sum_{d|(d_1,d_2)}\varphi_s(d)=\sum_{d|d_1,d|d_2}\varphi_s(d)$$

が成り立ち、

$$\sum_{d_1,d_2=1}^\infty \frac{(d_1,d_2)^s}{d_1^{s-\alpha}d_2^{s-\beta}}=\sum_{d_1,d_2=1}^\infty \frac{1}{d_1^{s-\alpha}d_2^{s-\beta}}\sum_{d|d_1,d|d_2}\varphi_s(d)$$

$$\sum_{d_1,d_2}\sum_{d_1|d,d_2|d}=\sum_{d,d_1,d_2=1,d|d_1,d|d_2}^\infty=\sum_{d,d_1',d_2'=1}^\infty $$

ここで、最後の等式は、$d_i=d_i'd$ とみなす．よって、2つ前の式は、

$$=\sum_{d,d_1',d_2'=1}^\infty \frac{\varphi_s(d)}{(d_1'd)^{s-\alpha}(d_2'd)^{s-\beta}}=\sum_{d_1'=1}^\infty \frac{1}{d_1'^{s-\alpha}}\sum_{d_2'=1}^\infty \frac{1}{d_2'^{s-\beta}}\sum_{d=1}^\infty\frac{\varphi_s(d)}{d^{2s-\alpha-\beta}}=\zeta(s-\alpha)\zeta(s-\beta)\sum_{d=1}\frac{\varphi_s(d)}{d^{2s-\alpha-\beta}}$$

となり、上の等式を使えば、

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_\alpha(n)\sigma_\beta(n)}{n^s}=\zeta(s-\alpha)\zeta(s-\beta)\frac{\zeta(s-\alpha-\beta)}{\zeta(2s-\alpha-\beta)}$$

が成り立つのです．

参考文献

1. 本橋洋一, 解析的数論 Ｉ ---素数分布論---, 朝倉数学体系（朝倉書店）