前のblog で乗法的関数とその母関数についてやりました.
その続きです.
\sigma_\alpha(n) を約数関数で、\sum_{d|n}d^\alpha と定義します.
また、 \varphi_\alpha(n) を
そうすると、この関数は明らかに乗法的関数であり、\text{id}^\alpha=1\ast \varphi_\alpha が成り立ちます.\text{id}^\alpha は \alpha 乗関数です.つまり、\text{id}^\alpha(n)=n^\alpha です.
この式を母関数のレベルで見れば、
\sum_{n=1}^\infty \frac{n^\alpha}{n^s}=\zeta(s-\alpha)=\zeta(s)\sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi_\alpha(n)}{n^s}
となるので、
\sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi_\alpha(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-\alpha)}{\zeta(s)}
となります.
また、メビウス変換をして、1\ast 1\ast \varphi_\alpha=1\ast \text{id}^\alpha=\sigma_\alpha
が成り立ちます.母関数にすれば、
この等式も興味深いですが、本橋洋一氏の「素数分布論」にもある次のラマヌジャンの等式
その続きです.
\sigma_\alpha(n) を約数関数で、\sum_{d|n}d^\alpha と定義します.
また、 \varphi_\alpha(n) を
\varphi_\alpha(n)=n^\alpha\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p^{\alpha}})
として定義します.そうすると、この関数は明らかに乗法的関数であり、\text{id}^\alpha=1\ast \varphi_\alpha が成り立ちます.\text{id}^\alpha は \alpha 乗関数です.つまり、\text{id}^\alpha(n)=n^\alpha です.
この式を母関数のレベルで見れば、
\sum_{n=1}^\infty \frac{n^\alpha}{n^s}=\zeta(s-\alpha)=\zeta(s)\sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi_\alpha(n)}{n^s}
となるので、
\sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi_\alpha(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-\alpha)}{\zeta(s)}
となります.
また、メビウス変換をして、1\ast 1\ast \varphi_\alpha=1\ast \text{id}^\alpha=\sigma_\alpha
が成り立ちます.母関数にすれば、
\zeta(s)\sum_{n=1}^\infty\frac{n^\alpha}{n^s}=\zeta(s)\zeta(s-\alpha)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sigma_\alpha(n)}{n^s}
が成り立ちます.もちろん \alpha=0 とおけば、こちらにある約数の個数の関数の母関数の等式になります.この等式も興味深いですが、本橋洋一氏の「素数分布論」にもある次のラマヌジャンの等式
\sum_{n=1}^\infty\frac{\sigma_\alpha(n)\sigma_\beta(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)\zeta(s-\alpha)\zeta(s-\beta)\zeta(s-\alpha-\beta)}{\zeta(2s-\alpha-\beta)}
です.
この証明は下の参考文献に全く同じものがありますが、素人にしてみれば寝転んで眺めただけでは分からなかったので、ここに書いてみます.
\sigma_{\alpha}(n)\sigma_\beta(n)=\sum_{d_1|n,d_2|n}d_1^\alpha d_2^\beta=\sum_{[d_1,d_2]|n}d_1^\alpha d_2^\beta
ここで、[d_1,d_2] は d_1,d_2 の最小公倍数です.
ここで、n^{-s} をかけて和をとる.
そうすると、
\sum_{n=1}^\infty\frac{\sigma_\alpha(n)\sigma_\beta(n)}{n^s}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\sum_{[d_1,d_2]|n}d_1^\alpha d_2^\beta
=\sum_{d_1,d_2}\sum_{[d_1,d_2]|n}\frac{d_1^\alpha d_2^\beta}{n^s}=\sum_{d_1,d_2=1}^\infty \sum_{d=1}^\infty \frac{d_1^\alpha d_2^\beta}{d^s[d_1,d_2]^s}
=\sum_{d_1,d_2}\sum_{[d_1,d_2]|n}\frac{d_1^\alpha d_2^\beta}{n^s}=\sum_{d_1,d_2=1}^\infty \sum_{d=1}^\infty \frac{d_1^\alpha d_2^\beta}{d^s[d_1,d_2]^s}
となります.ここで、[d_1,d_2]|n となる n の和は n=d[d_1,d_2] とおいて、 d の和として取ることに同値です.
そうすると、d の和と d_1,d_2 の和は独立に動くので、もう一度 d と d_1,d_2 の和を入れ替えることで、
=\sum_{d=1}^\infty \frac{1}{d^s}\sum_{d_1,d_2=1}^\infty \frac{d_1^\alpha d_2^\beta}{[d_1,d_2]^s}=\zeta(s)\sum_{d_1,d_2=1}^\infty \frac{(d_1,d_2)^s}{d_1^{s-\alpha}d_2^{s-\beta}}
となります.ここで、(d_1,d_2) は最大公約数です.
最後の等式は、d_1d_2=[d_1,d_2](d_1,d_2) が成り立つからです.
また、メビウス変換から、 n^s=\sum_{d|n}\varphi_s(d) となるので、
(d_1,d_2)^s=\sum_{d|(d_1,d_2)}\varphi_s(d)=\sum_{d|d_1,d|d_2}\varphi_s(d)
が成り立ち、
\sum_{d_1,d_2=1}^\infty \frac{(d_1,d_2)^s}{d_1^{s-\alpha}d_2^{s-\beta}}=\sum_{d_1,d_2=1}^\infty \frac{1}{d_1^{s-\alpha}d_2^{s-\beta}}\sum_{d|d_1,d|d_2}\varphi_s(d)
\sum_{d_1,d_2}\sum_{d_1|d,d_2|d}=\sum_{d,d_1,d_2=1,d|d_1,d|d_2}^\infty=\sum_{d,d_1',d_2'=1}^\infty
ここで、最後の等式は、d_i=d_i'd とみなす.よって、2つ前の式は、
=\sum_{d,d_1',d_2'=1}^\infty \frac{\varphi_s(d)}{(d_1'd)^{s-\alpha}(d_2'd)^{s-\beta}}=\sum_{d_1'=1}^\infty \frac{1}{d_1'^{s-\alpha}}\sum_{d_2'=1}^\infty \frac{1}{d_2'^{s-\beta}}\sum_{d=1}^\infty\frac{\varphi_s(d)}{d^{2s-\alpha-\beta}}=\zeta(s-\alpha)\zeta(s-\beta)\sum_{d=1}\frac{\varphi_s(d)}{d^{2s-\alpha-\beta}}
となり、上の等式を使えば、
\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_\alpha(n)\sigma_\beta(n)}{n^s}=\zeta(s-\alpha)\zeta(s-\beta)\frac{\zeta(s-\alpha-\beta)}{\zeta(2s-\alpha-\beta)}
が成り立つのです.
参考文献
- 本橋洋一, 解析的数論 I ---素数分布論---, 朝倉数学体系(朝倉書店)
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