連続と一様連続

今日も手習い塾に行きました。

そこで質問している人がいて、
「連続と一様連続のちがい」が分からず悩んでおられました．

微積ではなく数学基礎の方の授業のようでした．

確かに微積で最初につまづくとすると、

「$\epsilon-\delta$-論法」
「連続と一様連続」
「収束と一様収束」

でしょう．

どれも$\epsilon$ やら $\delta$ やらの論理式で書かれていますのでそのような

式に慣れていない大学一年生は面食らうわけです．

受験では答えが出るような計算や、お決まりのパターン暗記ばかり
やっていたわけですから、論理がうまくつながるように数式を処理するとか、
任意の何とかに対して成立を示せとか、ある実数が存在することの証明とか、
不等式をうまく処理するとか慣れていないわけですね．

もちろん高校までの数学を否定しているわけではなくてそれはそれで
できないと大学の数学では話にならないわけです．


さて、本題は連続と一様連続の違いでした．
近くにいた大学院生はなかなかとうまく答えられていませんでしたね．
理解していることと上手く説明することのギャップも

またあるわけです．

連続

実数上の実数値関数 $f(x)$ が連続とは、定義を書いてしまうと、

「任意の $x$ に対して、任意の正の実数 $\epsilon>0$ に対してある $\delta$ が存在して
$$|y-x|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$$
が成り立つ．」

ということです．
読み解くにはまず、「任意の」の攻略です．

意味は「あらゆる」とか、「全ての」ということです．

• なんでもいいから自由に数をとってきなさい．
  そしてそれ以降はその数は固定して考えてよいということです．

次に、「が存在して」の攻略です．

意味は、「探しなさい」、「作りなさい」ということです．

• 以下を満たすように自分で何か作ってください．
  その為の条件（材料）はそれ以前に書かれています．

最初から定義を読んでいくと、

「任意の $x$ に対して、」といった時点で実数 $x$ をなんでもいいから一つ選んで固定して
考えるが、この先、どの $x$ に対しても以下のことが成り立たなければならないよ
ということを言っています．

さらに、

「任意の $\epsilon>0$ に対して」と続きますが、これも正の実数をなんでもいいから
一つ選んで選び方によらずにそのあとのことが成り立つということです．
要するに、読みながら正の実数 $\epsilon$ もなんでもいいから一つ決めて進めばいい
のだなと思えばよいです．

問題は次です．「ある$\delta$が存在して、」となります。
これはなんでもいいから取ってこれるというわけではなくて
何か（あなたで）工夫して$\delta$ をもってきなさい
（というかもってこれます）ということです。どうやって工夫するかはその都度違いますが、
その材料となるのはその前の文章で任意に取ってきた
$x, \epsilon$ です．
つまり、どんなふうに $x,\epsilon$ を
取ってきても後ろの命題が成り立つように工夫して $\delta$ を持ってこれるという
ことです．

後ろの命題は何だったかというと、
$$|y-x|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$$

です．

どういうことかというと

$f(x)$ を中心とした前後 $\epsilon>0$ の幅を $y$ 軸上で考えます．
このとき、$x$ を含む前後 $\delta$ の幅をうまく取ってこれば、
$x$の近くの $\delta$ 以内の全ての実数は $f$ で $f(x)$ を中心とした幅の中に入れられる．
$|x-y|<\delta$ $\Rightarrow$  $|f(x)-f(y)|<\epsilon$

ということです．
この「前後$\delta$ の幅」のことを数学用語で、$\delta$-近傍といいます．
一般に、ある点の近くの点全部のことをその点の近傍と言います．

今までのことを絵であらわせば、

となります．

この関数は最初から連続っぽく書かれていますが、イメージです．
最初に任意に $x,\epsilon$ を決めておけば、図が示すように、$f(x)$ の $\epsilon$-近傍に
すっぽりと入ってくる$x$ の $\delta$-近傍の像
（$x$ からのビーム照射の影（上図））が作れています．

$\epsilon$-近傍は勝手に取ってきているので場合によっては $\epsilon$-近傍に
入る為の$\delta$ を工夫して小さくしておかなければならない
ということが見込まれます．


連続でないこと

連続でないときとは、どんなに $\delta$ を小さく工夫しても、
その $\epsilon$-近傍に $f$ の像がおさまらないということです．

ちゃんと否定命題を作っておけば

「ある $x$ に対して、ある正の実数 $\epsilon>0$ が存在して、任意の $\delta>0$ に対して

ある $y$ が存在して
$$|x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|>\epsilon$$
が成り立つ．
」

例えば、下を見てください．

関数が途中で途切れています．切れたところで $x$ を取ることにし、

$f(x)$ の$\epsilon$-近傍を持ってきます．

ただし、$\epsilon$ をこの切れている隙間より大分小さく取っておきます．

（連続の否定命題の場合は $\epsilon$ は何か自分で探してもってこればよいのです．）

そうすると、

$x$ の $\delta$-近傍をどんなに小さくしても、グラフにおいて $f(x)$ で切り離されている

部分($x$ の右側の部分)は $f(x)$ の $\epsilon$-近傍に収めることができません．

（そのために $\epsilon$ を小さく取っておく必要があったわけです．）

つまり、どんな $\delta$ に対しても $x<y<x+\delta$ なる$y$ をとってくることができて、
$f(y)$ は$f(x)$ の $\epsilon$-近傍に入れることができません．


一様連続

このように連続について分かれば、一様連続は大したことではありません．
一様連続の定義を見てみると、

「任意の $\epsilon>0$ に対して、ある正の実数 $\delta>0$ が存在して、
$|x-y|<\delta$ ならば、$|f(x)-f(y)|<\epsilon$ がなりたつ．」

何が違うかといえば、最初に $x$ を決めていないことです．
要するに、一様連続は $x$ によらない性質だということです．
なので、実数全体で押し並べて（一様に）何かが成り立っています．

何かというと、$\epsilon$ を任意に取ってこれば、定義域において、区間 $[x,y]$ でその
幅が $\delta$ となるもの（ここでは $\delta$ 幅と呼びましょう）が存在して、
その $\delta$ 幅の任意の $f$ の像が値域の方で $\epsilon$ 幅に収めることが
できるということです．
もう一度注意すると、この幅 $\delta$ は $x$ の場所によらずに決めることができます．

単なる連続であれば、$\delta$ は $x$ に依って決めてよかったのですが、
一様連続の場合は $\delta$ として $x$ のどこでも同じ $\delta$にしなければならないのです．
ただし、$\delta$ は $\epsilon$ によって決めてもよいです．
下に絵を載せておきます．

ただ、関数の「傾き」が小さいと、$\delta$ 幅の像が
小さくて済みますが、「傾き」が大きくなると、$\delta$ 幅の像は大きくなってしまいjます．
「傾き」が大きいところでも $\epsilon$ の幅に入ってくるようにするには最初から $\delta$ を
小さくしておかなければなりません．

（ここで「傾き」という言葉を使いましたが、傾きが定義できない例もあるかもしれないので
要するに、変化量と思えばよいでしょう。）


しかし、そのような工夫がいつまでも続けられるか？ということがあります．
「傾き」が限りなく大きくなるような関数であるとすると、どんなに小さく$\delta$
小さく取っておいても、いつかは最初に決めた $\epsilon$ を超えるような像になってしまうかもしれません．
そのようなとき、関数は一様連続とは言いません．

手習い塾に来ていたみなさんには $y=x^2$ が一様連続でないことの問題をあげました．
$y=ｘ^2$ は無限大において傾きが発散してしまいますので今言った$\delta$ 幅を
取ることができません．

 幅が$\delta$ の $x,y$ を無限の方向に近づけてやると、
その $y=x^2$ の像は限りなく広がってしまいますよね？

今言ったことが分かるまで紙に書いて確かめてみるとよいでしょう．

この関数 $y=x^2$ が一様連続でないことの証明は一様連続を習った後なら出来て欲しいですね．
ここまで、連続と一様連続の感覚だけを述べました．


（注意）
ここでは、連続と一様連像の感覚を述べただけなので証明の書き方は一切述べていません．
なので、ここに書いてあることをそのまま証明としてレポートに書いてしまっても
点数はもらえませんのでご注意ください．
しかし、教科書に書いてあることが理解できるようには説明をしたつもりです
ので、後は、証明が書けるように教科書を読みながら
その証明を真似すればよいと思います．

証明を書く場合には数式や論理を使ってちゃんと書いてください．


まとめ

連続とは、任意の$\epsilon,x$に対して成り立つ性質である．
どんなに 像の $f(x)$ の$\epsilon$-近傍を指定しておいても、その近傍に、まるまる
ぞの像が入るような $x$ の $\delta$-近傍が存在するということ．


一様連続とは、任意の $\epsilon$ に対して成り立つ性質である．
$\epsilon$ を決めておけば、$\delta$ 幅を十分小さくとっておけば、
$\delta$ 幅の実数の像はいつでも、$\epsilon$ 以内に収めることができる．