[場所:2H101（火曜日15:15〜16:30, 16:45〜18:00）](2026年度)
第6回の授業について書いておきます。
数学リテラシー2の後半は空間図形になります。
内積と外積
空間というのは ${\mathbb R}^3$ のことであり、これは、$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ のような
3つの実数の組みのことでありそれ全体が空間を成しています。
数学リテラシー1でやったように、縦ベクトルで表しておきます。
そこで、
$\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$
のように書き、そのベクトルの長さを
$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ とします。
同様に
$|\overrightarrow{v}|=\sqrt{y_1^2+y_2^2+y_3^2}$ となります。
内積とその性質
また、内積を
$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$ と定義します。
そうすると、次の性質
- $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}=|\overrightarrow{u}|^2$
- $(a\overrightarrow{u})\cdot \vec{v}=a(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})$
- $(\overrightarrow{u}_1+\overrightarrow{u}_2)\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}_1\cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}_2\cdot \overrightarrow{v}$
- $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}$
が導かれます。
内積とは、長さの2乗の概念を2つのベクトル上の関数として拡張したものと
考えるものということになります。
つまり、写像の言葉では
$${\mathbb R}^3\times {\mathbb R}^3\to {\mathbb R},\ \ \ (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\mapsto \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}$$
と表すことができます。ここで、${\mathbb R}^3\times {\mathbb R}^3$ は2つの ${\mathbb R}^3$ のペアの集合を表しています。
つまり、$\{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in {\mathbb R}^3\}$ ということです。
上の条件2,3,4から、内積は、２つのベクトルのそれぞれに対して線形性をもちます。
これを双線形性といいます。
かつ、4から入れ替えても変わりません。これを対称性といいます。
後半のベクトル空間についての線形性
$$\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}_1+\overrightarrow{v}_2)=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}_1+\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}_2$$
の条件がないと思うかもしれませんが、4の対称性があるので
この性質も自然に導かれます。
また、1 の条件は、$\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$ ならば、
$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}>0$ であり、このことを
正定値であると言います。
このような、正定値で、双線形性と対称性をもつ写像${\mathbb R}^3\times {\mathbb R}^3\to {\mathbb R}$
を正定値対称双線形形式といいます。
つまり、内積は、正定値対称双線型形式のことを言います。
また、内積の性質として、
$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cos\theta$$
があります。ここで、$\theta$ は $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ の間の角度です。
この性質は、高校の頃にすでにやっていると思われますので省略します。
外積とその性質
次に外積を考えましょう。
$\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$
に対して、
$$\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}={}^t\left(\det\begin{pmatrix}x_2&x_3\\y_2 &y_3\end{pmatrix},\det\begin{pmatrix}x_3&x_1\\y_3 &y_1\end{pmatrix},\det\begin{pmatrix}x_1&x_2\\y_1 &y_2\end{pmatrix}\right)$$
として定義します。
このとき、外積は、内積と違って
$${\mathbb R}^3\times {\mathbb R}^3\to {\mathbb R}^3,\ \ \ (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\mapsto \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}$$
2つのベクトルに対して、1つのベクトルを対応させていることに注意します。
内積同様に、外積の性質を見てみると、
- $\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{u}=0$
- $(a\overrightarrow{u})\times\vec{v}=a(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})$
- $(\overrightarrow{u}_1+\overrightarrow{u}_2)\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}_1\times \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}_2\times \overrightarrow{v}$
- $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=-\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{u}$
が成り立ちます。
1. に関しては、行列式は、平行なベクトル同士では0になることから来ています。
また、2,3に関しては、行列式が双線形形式であること、つまり、
$$\det\begin{pmatrix}a_1+a_1'&a_2+a_2'\\b_1&b_2\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{pmatrix}+\det\begin{pmatrix}a_1'&a_2'\\b_1&b_2\end{pmatrix}$$
であること、
$$\det\begin{pmatrix}aa_1&aa_2\\b_1&b_2\end{pmatrix}=a\det\begin{pmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{pmatrix}$$
であることからきます。
また、4は
$$\det\begin{pmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix}b_1&b_2\\a_1&a_2\end{pmatrix}$$
であることからわかります。これらは $2\times 2$ 行列の行列式の定義から直接導かれます。
4の性質は反対称性といいます。ですので外積は
反対称双線形写像ということができます。
次に外積の性質を見ていきます。
$\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$
に対して、外積と内積を組み合わせて、
次の計算をします。
$$(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{u}=x_1\det\begin{pmatrix}x_2&x_3\\y_2 &y_3\end{pmatrix}+x_2\det\begin{pmatrix}x_3&x_1\\y_3 &y_1\end{pmatrix}+x_3\det\begin{pmatrix}x_1&x_2\\y_1 &y_2\end{pmatrix}$$
$$=x_1(x_2y_3-x_3y_2)+x_2(x_3y_1-x_1y_3)+x_3(x_1y_2-x_2y_1)=0$$
となります。同様に、
$$(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{v}=0$$
が成り立ちます。
すなわち、外積 $\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}$ は $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ の両方に直交するベクトルを与えていることになります。
また、外積の絶対値 $|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}|$ が何かを求めます。
最初に答えを言っておくと、この値は $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ で作られる平行四辺形の面積になります。
まず、そのような平行四辺形の面積 $S$ は
$$S=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}||\sin\theta|$$
として与えられることが簡単にわかります。
ここで $\theta$ は同様にそれらのベクトルのなす角を表します。
そこで、この式を変形していきましょう。
$$|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}||\sin\theta|=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\sqrt{1-\cos^2\theta}$$
$$=\sqrt{|\overrightarrow{u}|^2|\overrightarrow{v}|^2-|\overrightarrow{u}|^2|\overrightarrow{v}|^2\cos^2\theta}$$
$$=\sqrt{|\overrightarrow{u}|^2|\overrightarrow{v}|^2-(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})^2}$$
$$=\sqrt{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2)-(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3)^2}$$
$$=\sqrt{x_1^2(y_2^2+y_3^2)+x_2^2(y_1^2+y_3^2)+x_3^2(y_1^2+y_2^2)-2(x_1x_2y_1y_2+x_1x_3y_1y_3+x_2x_3y_2y_3)}$$
$$=\sqrt{(x_1y_2-x_2y_1)^2+(x_1y_3-x_3y_1)^2+(x_2y_3-x_3y_2)^2}$$
$$=|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$$
となり、確かに主張 $S=|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$ が成り立ちます。
つまり、上で与えた外積 $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$とは、長さが
$\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ で作られる平行四辺形の面積をもち、
$\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ のどちらにも直交するベクトルであるということになります。
例1：$\overrightarrow{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{e}_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ とすると、計算により
$\overrightarrow{e}_1\times \overrightarrow{e}_2=\overrightarrow{e}_3$ となります。
いくつかの体積への応用
平行六面体の体積
ベクトル $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}$ で作られる
$(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}$を考えます。
これをスカラー三重積といいますが、この値の絶対値は実は
これらの３つで作られる平行六面体の体積になります。
ここで、平行六面体とは、
$$\{r\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}+s\overrightarrow{w}\in {\mathbb R}^3|0\le r,s,t\le 1\}$$
を満たす集合(またはそれを平行移動したもの)のことです。
平行六面体の底面を $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ で構成できる平行四辺形とすると、
その平行六面体の高さを $h$ とすると、$\overrightarrow{w}$ の $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$ への正射影の長さであるから、
その間の角度を $\theta$ とすると、$h=|\overrightarrow{w}|\cdot|\cos\theta|$ になります。
よって、
$$V=Sh=|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|\cdot |\overrightarrow{w}||\cos\theta|=|(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w} | $$
となります。
特に、$\overrightarrow{w}$ が $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ と同じ平面上の
ベクトルつまり、$\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ である場合、
$\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}$ で作られる平行六面体の
高さは0の平行六面体であるから、
$(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}=0$
となります。
四面体の体積
3つのベクトル $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}$
において、そのベクトルの終点と原点で四面体が作られます。
例2：この体積は
$$\frac{1}{6}|(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w})|$$
として計算できます。
平行六面体の体積は
$|(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w})|$
であった。
求める体積の四面体は、その底面の平行四辺形を半分にして得られる
三角形上の三角錐であるから、
平行六面体の
$$\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}$$
倍であることがわかります。
故に、求める四面体の体積は $\frac{1}{6} |(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}|$
であることがわかります。
例3：一辺が1の正四面体の体積をスカラー三重積を用いて求めてみます。
そのような四面体は、
$$\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{pmatrix},\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix},\overrightarrow{w}=\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$$
として実現できます。全て長さが1で、内積が全て$\frac{1}{2}$ であることを確認
してください。
このとき、スカラー三重積を取ると、
$\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$ であり、
$|(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot\overrightarrow{w}|=\frac{1}{\sqrt{2}}$
と計算できます。よって上の公式から、
そのような正四面体の体積は、
$$\frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{12}$$
となります。
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