[場所:オンライン（月曜日3限）]
最終回は、完備距離空間についてやりました。
完備距離空間
定義15.1
距離空間 (X,d) において点列 (x_x) が、\forall \epsilon>0 に対して、
\exists N\in {\mathbb N} と、\forall m,n>N に対して、d(x_n,x_m)<\epsilon
を満たすとき、(x_n) をコーシー列という。
この定義は {\mathbb R} 上のコーシー列の一般化になっています。
一般に、コーシー列は収束列とは限りません。
たとえば、a_n=1/n とすると、(0,1) において、a_n は
コーシー列ですが、(0,1) に収束先はありません。
つぎに、距離空間の完備性の定義をします。
定義15.2
(X,d) を距離空間とする。任意のコーシー列が収束するとき、
(X,d) は完備という。
先ほどの例 (0,1) は完備距離空間ではないということになります。
完備距離空間の例は以下のものがあります。
定義15.1 {\mathbb R} は完備距離空間である。
定理15.2 コーシー列 (a_n) は有界である。
(証明) \forall \epsilon>0 に対して、
\exists N\in {\mathbb N} において、n_0,m>N となる自然数で
n_0 を固定しておきます。
このとき、d(a_{n_0},a_m)<\epsilon です。
\{d(a_{n_0},a_{n})|n\le N\} は高々有限集合なので、その最大が存在して、
それを \delta とします。よって、
d(a_{n_0},a_n)<\max\{\delta,\epsilon\}となります。
n,m\in {\mathbb N} に対して、
d(a_n,a_m)\le d(a_n,a_{n_0})+d(a_{n_0},a_m)\le 2\max\{\delta,\epsilon\}
\text{diam}(\{a_n|a\in {\mathbb N}\})\le 2\max\{\delta,\epsilon\}
よってコーシー列 (a_n) は有界となります。\Box
次の定義をしておきます。
定義15.3
(a_n) を 位相空間 X の点列 (a_n)に対して、
{\mathbb N}\ni k\mapsto n_k\in {\mathbb N}
を単射とする。
このとき、(a_{n_k}) を (a_n) の部分列という。
定理15.3(ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理)
{\mathbb R} の任意の有界数列は収束する部分列をもつ。
(証明) (x_n) を{\mathbb R} の有界数列とします。
このとき、\{x_n|x\in {\mathbb N}\}\subset [-M,M] とします。
拡大縮小、平行移動をして \{x_n|n\in{\mathbb N}\}\subset [0,1] としておきます。
定理13.8 (こちらのページ)と同様に、区間を半分にしていくことで、
[0,1]\supset[a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset \cdots
各 n\in{\mathbb N} に対して、[a_n,b_n] において、
点列 (x_n) が無限個入るようにしておきます。
このとき、x_{n_1}\in [a_1,b_1] とし、n_1<n_2
かつ x_{n_2}\in [a_2,b_2] となるようにします。
同様に、n_{k-1}<n_{k} であって、x_{n_k}\in [a_k,b_k] を満たすように
します。
そうすると、上の区間の減少列において、
a_n,b_n\to x が成り立ち、\{x\}=\cap_{n=1}^\infty [a_n,b_n] となります。
(x_n) の部分列 (x_{n_k}) であって a_k\le x_{n_k}\le b_k を満たします。
また、a_k,b_k\to x を満たすので、x_{n_k}\to x となります。
よって、(x_n) の部分列 (x_{n_k}) は x に収束する部分列になります。\Box
また、次の定理が成り立ちます。
定理15.4
コーシー列 (a_n) が収束する部分列をもつなら、(a_n) は収束列である。
この証明は \epsilon-N 論法を使って簡単に証明できるので、ここでは省略します。
この定理を用いることで、上の {\mathbb R} は完備距離空間であることがわかります。
(定理15.1の証明)
(a_n) を任意の {\mathbb R} のコーシー列とします。
このとき、(a_n) は有界数列なので、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの
定理により、収束する部分列を持ちます。
(a_n) が収束する部分列をもつので、定理15.4から(a_n) は収束列ということに
なります。よって、{\mathbb R} は完備距離空間になりました。\Box
ここで以下を示しましょう。
定理15.5
距離空間において以下が同値である。
・コンパクト空間
・全有界かつ完備
まず、上から下の条件を導きましょう。
定理15.6
コンパクト距離空間は全有界かつ完備である。
(証明) コンパクト距離空間は全有界であることは既に示したので、
完備性を示そう。
(a_n) を任意のコーシー列とします。
A=\{a_n|n\in {\mathbb N}\}
とします。
A が集積点を持たないとします。
このとき、B_d(x,\epsilon_x)\cap A=\emptyset または \{x\}
であり、\{B_d(x,\epsilon_x)|x\in X\} は X の開被覆であり、
コンパクト性から、\{B_d(x_i,\epsilon_{x_i})|i=1,\cdots, n\} が
部分開被覆となります。
よって、A=\cup_{i=1,\cdots,n}(B_d(x_i,\epsilon_{x_i}\cap A)\subset \{x_i|i=1,\cdots,n\}
より、A は有限集合になります。
そうすると、ある p\in A に対して、無限個の (a_n) が存在して、
a_n=p となります。
よって、収束する部分列を持ちます。
一方、
A に集積点を持つとします。
それを x\in X とします。
このとき、a_{n_1}\in B_d(x,1)\cap (A\setminus \{x\})
とします。このとき、\delta_1=d(a_{n_1},x)/2 とします。
条件から \delta_1<\frac{1}{2} です。
a_{n_2}\in B_d(x,\delta_1)\cap (A\setminus\{x\})
として、\delta_2=\frac{d(a_{n_2},x)}{2} とすると、
\delta_2<\frac{\delta_1}{2}<\frac{1}{4}
a_{n_3}\in B_d(x,\delta_2)\cap(A\setminus \{x\})
より、これを続けることで、\delta_n<\frac{1}{2^n} です。
また、選び方から、a_{n_1},a_{n_2}, a_{n_3},\cdots は全て違う点であるから、
a_{n_k} は部分列であることがわかります。
また、d(a_{n_k},x)<\delta_k<\frac{1}{2^k} であるから、
a_{n_k}\to x であることが分かります。
どちらにしても、コーシー列 (a_n) に対して 収束する部分列 (a_{n_k})
が存在します。
よって、定理15.4から、(a_n) は収束する列になります。
よって、(X,d) は完備になります。\Box
次に上の逆を示しましょう。その前に次を示しておきます。
定理15.7 全有界な距離空間は、任意の点列は、コーシー列となる部分列をもつ。
(証明) (X,d) を全有界な距離空間とします。
今、\forall n\in {\mathbb N} に対して、
有限点 \{x_1^n,\cdots, x_{m_n}^n\} が存在して、
X=\cup_{k=1}^{m_n}B_d\left(x^n_k,\frac{1}{n}\right)
が成り立ちます。
ここで、(a_n) を任意の点列とします。
B_1=B_d(x_{k_1}^1,1)
B_2=B_d(x_{k_1}^1,1)\cap B_d(x_{k_2}^2,\frac{1}{2})
B_3=B_d(x_{k_1}^1,1)\cap B_d(x_{k_2}^2,\frac{1}{2})\cap B_d(x_{k_3}^3,\frac{1}{3})
\cdots
のようにして、B_i には、(a_n) のうち無限個の点列を含むようにすることが
できます。同じことですが、そのような k_i を選ぶことができます。
そうすると、
B_1\supset B_2\supset B_3\cdots
となることがわかります。
こうすることで、a_{n_1}\in B_1, a_{n_2}\in B_2,\cdots
のように点列を選ぶことができて、n_1<n_2<\cdots と仮定することができます。
よって、部分列 a_{n_k} をとることができます。
今、\epsilon>0 に対して、\frac{1}{2N}<\epsilon となる自然数 N が存在して、
\forall k,l>N に対して、
d(a_{n_k},a_{n_l})\le d(a_{n_k},x^N_{n_k})+d(x^N_{n_k},a_{n_l})<\frac{1}{N}+\frac{1}{N}<\epsilon
を満たします。
よって、a_{n_k} はコーシー列となります。\Box
では、先ほどの定理15.5の下から上を示しましょう。
定理15.8
全有界かつ完備距離空間はコンパクト空間である。
(証明) (X,d) が全有界完備であるとします。
このとき、(X,\mathcal{O}_{d}) は全有界かつ完備であるから、
X はリンデレフ空間になります。
よって、任意の開被覆 \mathcal{U}\subset \mathcal{O}_d に対して、
高々可算部分被覆 \mathcal{V}\subset \mathcal{U} が
存在します。\mathcal{V} が有限であれば、証明が終わるので、
可算(無限)集合であるとします。
\mathcal{V} にどんな有限部分集合も X を被覆しないと仮定しておきます。
どんな n\in {\mathbb N} に対しても、
x_n\not\in V_1\cup \cdots \cup V_n をとり、点列 (x_n) を構成します。
\forall i\in {\mathbb N} に対しても V_i には高々有限個の x_n のみしか
含みません。
この点列 (x_n) には定理15.7 から部分コーシー列 (x_{n_k}) が存在します。
よって、完備性から (x_{n_k}) は収束し、その収束先を x とおくと、
x\in V_n に対して、V_n は x の近傍であるから、V_n に含まれる
無限個の x_{n_k} が存在することになります。
これは、V_n には高々有限個の x_{n_k} しか存在しないことに矛盾します。
よって、\mathcal{V} は、有限部分被覆が存在します。
これは \mathcal{U} の有限部分被覆でもあるから、
X はコンパクトであることになります。\Box
これにより、定理15.5のコンパクト距離空間が全有界かつ完備であること
と同値であることが証明できました。
ベールの定理
ここで、完備距離空間の性質としてベールの定理を示しておきます。
そのために以下の定義をしておきます。
定義15.4
位相空間 (X,d) に対して、A\subset X が
\text{Int}(\text{Cl}(A))=\emptyset であるとき、A は疎集合であるという。
また、疎集合の可算個の和集合のことを第1類という。
また、第1類ではない集合を第2類という。
疎集合であることは、上と同値な条件に、
\text{Cl}(\text{Int}(A^c))=X があります。
これは、以前示した、
(\text{Int}(B))^c=\text{Cl}(B^c)
(\text{Cl}(B))^c=\text{Int}(B^c)
により導けます。
また、条件から、疎集合の部分集合は全て疎集合であることが分かります。
注意すべきことは、疎集合というのは、入っている位相空間に依存しますし、
どのように入っているかにも依存します。
たとえば、[0,1]\subset {\mathbb R} は疎集合ではありませんが、
[0,1]\subset [0,1]\times [0,1] は疎集合となります。
特に、疎集合かどうかは位相的性質ではありません。
例15.2
疎集合の例としては、({\mathbb R},\mathcal{O}_{d_1}) 上の
有限点集合は疎集合です。
よって、{\mathbb R} 上の可算集合は全て第1類ということになります。
例えば有理数全体の集合 {\mathbb Q}\subset {\mathbb R}
は通常のユークリッド距離位相空間において第1類となります。
ただ、疎集合ではありません。
ここで、疎集合を特徴づけましょう。
命題15.1
稠密開集合の補集合は疎集合である。
(証明) D を稠密開集合であるとします。
条件から、
\text{Int}(D)=D かつ \text{Cl}(D)=X であるから、
\text{Int}(\text{Cl}(D^c))=\text{Int}((\text{Int}(D))^c)=\text{Int}(D^c)=(\text{Cl}(D))^c=X^c=\emptyset
となります。
よって、D^c が疎集合ということになります。\Box
次の命題を示しましょう。
命題15.2
(X,\mathcal{O}) を位相空間とするとき、以下は同値。
・A\subset X が疎集合である
・稠密開集合 D が存在して、A\subset D^c となる。
(証明) (\Rightarrow) を示します。
A\subset X を疎集合とします。
このとき、D=(A^c)^\circ とおくと、D は開集合であり、
\text{Cl}(D)=\overline{(A^c)^\circ}=X となります。
よって、D は稠密開集合となります。
また、D\subset A^c であるので条件を満たします。
(\Leftarrow) を示します。
D を稠密開集合とし、A\subset D^c とします。
このとき、命題15.1から、D^c は疎集合であり、
疎集合の部分集合は疎集合であるから
A が疎集合であることになります。\Box
ここで、ベールの定理を書いておきます。
定理15.9(ベールの定理)
(X,d) を完備距離空間とする。
D_i が可算個の稠密開集合のとき、
\cap_{i=1}^\infty D_i は X で稠密集合になる。
この証明を考える前に、いくつか説明をしておきます。
まずこの定理が補集合では何を言っているか考えましょう。
するとこうなります。
完備距離空間において、
A_i を可算個の稠密開集合の補集合とする。
このとき、
A=\cup_{i=1}^\infty A_i は、A^\circ=\emptyset である。
また、その部分集合を取ると、
完備距離空間において、
A_i を可算個の疎集合とする。
このとき、
A=\cup_{i=1}^\infty A_i は、A^\circ=\emptyset である。
つまり、ベールの定理は、
完備距離空間において、
A\subset X が第1類ならば、 A^\circ =\emptyset となる。
さらに、対偶を取れば、
A が内点を持つとすると、A は可算個の疎集合の和集合で書けない。
つまり、第2類集合である。
特に、X が完備距離空間であれば、
A=X は可算個の疎集合の和によって書くことができない。
評語的に言えば、
「チリ(疎集合)もつもれど(可算和集合をとっても)山(内点を持つ集合)にならない」
ということが言えます。
例15.3 例えば、{\mathbb R}^2 は完備距離空間ですが、
可算個の直線によって覆うことができない。
また、
例15.4 有理数空間は、完備距離空間に同相ではない。
なぜなら、もし同相なら、1点集合は、疎集合であるから、{\mathbb Q}
は、疎集合の可算和集合になってしまうからです。
また、一般化して、孤立点を含まなければ完備距離空間は非可算個の点を含みます。
もちろん、離散距離空間は、可算個でも完備距離空間になります。
ではここで、ベールの定理の証明をしておきます。
(証明) (X,d) を完備距離空間とします。
D_i を稠密開集合とします。(i=1,2,\cdots)
この時、\cap_{i=1}^nD_i が X において稠密であることを示します。
\forall x\in X として、\forall \epsilon>0 に対して、
\epsilon_0=\epsilon とし、x_0=x とおきます。
このとき、
B_d(x_0,\epsilon)\cap D_i\neq \emptyset
であるから、x_1\in B_d(x_0,\epsilon_0)\cap D_i を取ります。
また、
0<\epsilon_1<\frac{1}{2} かつ、
\text{Cl}(B_d(x_1,\epsilon_1))\subset B_d(x_0,\epsilon_0)\cap D_1
とすることができます。
それは、B_d(x,\epsilon) かつ D_i がどちらも開集合であり、
距離空間が正則空間であることからわかります。
また、B_d(x_1,\epsilon_1)\cap D_2\neq \emptyset であることから、
x_2\in B_d(x_1,\epsilon_1)\cap D_2 を取り、
0<\epsilon_2<\frac{1}{4} を取り、
\text{Cl}(B_d(x_2,\epsilon_2))\subset B_d(x_1,\epsilon_1)\cap D_2
とすることができます。このようにして、
任意の n\in {\mathbb N} に対して、
\text{Cl}(B_d(x_n,\epsilon_n))\subset B_d(x_{n-1},\epsilon_{n-1})\cap D_n
かつ 0<\epsilon_n<\frac{1}{2^n} を取ることができます。
よって、
\forall m>n\in {\mathbb N} に対して、
B_d(x_m,\epsilon_m)\subset B_d(x_{m-1},\epsilon_{m-1})\subset \cdots\subset B_d(x_n,\epsilon_n)
となります。
このことから、d(x_m,x_n)<\epsilon_n<\frac{1}{2^n} より、
(x_n) はコーシー列であり、
完備性から、ある x_\infty に収束します。
また、\forall n\in {\mathbb N} に対して \forall m>n に対して、
x_m\in B_d(x_n,\epsilon_n) であるから、
x_\infty\in \text{Cl}(B_d(x_n,\epsilon_n)) となります。
よって x_\infty\in D_n かつ、B_d(x_n,\epsilon) であることがわかります。
特に、x_\infty\in B_d(x,\epsilon) であるから、x_\infty\in B_d(x,\epsilon)\cap_{n=1}^\infty D_n
であり、
x_\infty\in \overline{\cap_{n=1}^\infty D_n} であることがわかります。
よって、\cap_{n=1}^\infty D_n は X で稠密であることがわかります。 \Box
完備化
最後に、完備化の話をして終わります。
完備化の定義をしておきます。
(X,d) を距離空間とします。
このとき、ある完備距離空間 (\hat{X},\hat{d}) が存在して、
h(X)\subset \hat{X} が稠密となる単射連続写像 h:X\to \hat{X} が存在するとき、
(\hat{X},h) を X の完備化と言います。
例えば、以下の例ががあります。
例15.6
({\mathbb R},d_1) における ({\mathbb Q},d_1) の通常の埋め込みは完備化である。
また、次の例を考えます。
C^\ast(X) を X 上の有界な実数値連続関数全体とします。
f,g\in C^\ast(X) に対して、
d_{\sup}^X(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)||x\in X\}
と定義すると、(C^\ast(X),d_{\sup}^X) は完備距離空間となります。
完備化についての定理を与えて証明することで終わります。
定理15.10
(X,d) を距離空間とする。
このとき、X の完備化 (\hat{X},h) が存在し、
完備化は等長写像を除いて一意的である。
(証明) (X,d) を距離空間とします。
a,x\in X に対して、
\varphi_x(z)=d(a,z)-d(x,z)
とすることで、\varphi_z\in C^\ast(X) が構成します。
ここで、\Phi(x)=\varphi_x とします。
\Phi が単射であることを示しておきます。
\Phi(x)=\Phi(y) であるとします。
このとき、任意の z\in X に対して、d(x,z)=d(y,z) であり、
特に z=x とおくことで、0=d(x,y) であるから、x=y となります。
よって、単射
\Phi:X\to C^\ast(X)
を得ます。
このとき、|\varphi_x(z)-\varphi_y(z)|=|d(a,z)-d(x,z)-(d(a,z)-d(y,z))|=|d(x,z)-d(y,z)|\le d(x,y)
より、
d_\sup^X(\varphi_x,\varphi_y)\le d(x,y)
が成り立ちます。この不等式から \Phi が連続であることがわかり、同様に、d(x,y)\le d_\sup^X(\varphi_x,\varphi_y)
も成り立つことがわかります。
\Phi:X\to C^\ast(X) は距離を保つ連続写像であることがわかります
\hat{X}=\text{Cl}(\Phi(X))\subset C^\ast(X) とすることで、
\hat{X} は完備距離空間であり、X\subset \hat{X}
は完備化となります。
一意性に対してはここでは省略します。\Box
ここで使ったのは、完備距離空間の中の閉集合はまた完備距離空間であることでした。
