トポロジー入門(第13回)

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今回は、分離公理の後半と、コンパクト空間についての説明を行いました。

前回は分離公理としてハウスドルフ空間を行いました。

基本的に分離公理とは、２つの交わらない部分集合が開集合を使って

分離できるかどうかについての公理でした。

分離するとは、$A,B$ を部分集合として、$A\subset U$ のような

開集合 $U$ が存在して、$A\subset U$ かつ $U\cap B=\emptyset$

となることをいいます。

場合によっては、$B$ の方にも同じように開集合 $V$ が取れ、

$B\subset V$ となり、 $A\cap V=\emptyset$ となります。

この場合、さらに強い分離公理を満たすことになります。

また、さらに、$U,V$ に共通部分が内容に取れることもあり、

このことを、$A,B$ を開集合で分離するともいいます。

分離公理(正則空間・正規空間)

ハウスドルフ空間 ($T_2$ 公理) の次に行う分離公理は、

$T_3, T_4$ 公理です。

定義13.1, 13.3($T_3$-公理、$T_4$-公理) 

「$x\in X$ と $x\not\in F$ となる閉集合 $F$ 

に対して、開集合 $U,V$ が存在して、

$$x\in U,\ F\subset V,\ U\cap V=\emptyset$$

を満たす」を $T_3$-公理という。

「$A\cap B=\emptyset$ を満たす閉集合 $A,B \subset X$

に対して、開集合 $U,V$ が存在して、

$$A\subset U,\ B\subset V,\ U\cap V=\emptyset$$

を満たす」を $T_4$-公理という。

定義13.2,13.4

$T_1$ かつ $T_3$ 公理を満たす空間を正則空間といい、

$T_1$ かつ $T_4$ 公理を満たす空間を正規空間という。

ここで、正則空間の言い換えを与えておきます。

定理13.1

$X$ が $T_3$空間であることと、以下が同値、

$\forall x\in X$ と、$x\in U$ となる開集合 $U$ に対して、

$x\in V\subset \overline{V}\subset U$ となる開集合 $V$ が

存在する。

(証明) ($\Rightarrow$)

$X$ が $T_3$空間とする。

このとき、$x\in U$ となる開集合 $U$ に対して

$x,F=U^c$ は1点とそれを含まない閉集合となるから、$T_3$公理から

$x\in V,F\subset W$ が存在して、$V\cap W=\emptyset$ を満たします。

よって、$x\in V\subset W^c\subset U$ を満たします。

ここで、$W^c$ は閉集合であるから、

$x\in V\subset \overline{V}\subset W^c\subset U$ となります。

つまり、条件が成立することになります。

($\Leftarrow$)

下の条件が成り立ったとします。

このとき、$x\not \in F$ となる閉集合 $F$ に対して、

$x\in F^c=U$ は開集合であり、条件から、$x\in V\subset \overline{V}\subset U$ を

満たす開集合 $V$ が存在します。

このとき、$x\in V$ かつ、$F\subset (\overline{V})^c$ は

$V\cap (\overline{V})^c=\emptyset$ であるから

$x,F$ を開集合によって分離していることになります。

つまり $X$ は $T_3$ 空間であることがわかりました。$\Box$

同じように、以下の定理も成り立ちます。

定理13.2

$T_4$ 空間であることと以下は同値.

$X$ の互いに交わらない閉集合 $F$ と$F\subset G$ を満たす

開集合 $G$ に対して、$F\subset V\subset\overline{V}\subset G$

となる開集合 $V$ が存在する。

このことから、以下の関係が成り立つことがすぐにわかります。

正規空間 $\Rightarrow$ 正則空間 $\Rightarrow$ ハウスドルフ空間

この関係のどの逆も成り立ちません。

まず、次の例があります。

定理13.3

距離位相空間は正規空間。

(証明) $A,B$ を交わらない閉集合とします。

このとき、

$U=\{x|d(x,A)<d(x,B)\}$

$V=\{x|d(x,A)>d(x,B)\}$

とすると、$A\subset U$ かつ $B\subset V$ であり、

定義から $U\cap V=\emptyset$ となります。

$\forall x\in A$ とすると、$d(x,A)=0$ であり

$d(x,B)>0$ となります。

もし $d(x,B)=0$ なら、$x\in \overline{B}=B$ となり矛盾するからです。

また、$U,V$ が開集合であることは、$\varphi(x)=d(x,B)-d(x,A)$ は $\varphi:X\to{\mathbb R}$

となる連続関数となる。

よって $U=\varphi^{-1}((0,\infty))$ となるので、$U,V$ は開集合となる。

よって、$U,V$ は $A,B$ を分離する開集合となります。$\Box$

よって、

距離空間 $\Rightarrow$ 正規空間

となります。

この、逆は成り立ちません。反例は、ゾルゲンフライ直線です。

また、正規空間が成り立つ性質についてまとめておきます。

証明はしません。

定理13.4(ウリゾーンの補題)

位相空間 $X$ において以下は同値。

$T_4$ 空間である。

互いに交わらない閉集合 $F,G$ に対して、

連続関数 $f:X\to I$ が存在して $f(F)=0$ かつ $f(G)=1$ 

を満たす。

定理13.5(ウリゾーンの距離化定理)

正規かつ第2可算公理を満たす空間は距離化可能

定理13.6(ティーチェの拡張定理)

$X$ を正規空間とする。

このとき、閉集合 $A\subset X$ に対して

任意の連続関数 $f:A\to X$ に対して連続関数

$\tilde{f}:X\to [0,1]$ が存在して、$\tilde{f}|_A=f$ となる。

ゾルゲンフライ平面 ${\mathbb R}^2_l$

を考えましょう。こちら にてゾルゲンフライ直線、平面についての解説を

書いたことがあったのでリンクをはりました。

ゾルゲンフライ直線の２つの直積としてゾルゲンフライ平面を定義します。

ティーチェの拡張定理を使うと、

${\mathbb R}^2_l$ は正規空間ではないことが分かります。

また、正則空間の２つの直積空間も正則空間

であるから、

${\mathbb R}^2_l$ は正則空間となります。

よって、${\mathbb R}^2_l$ は正則だが、正規な位相空間ということになります。

他にも、ハウスドルフだが、正則空間ではない空間も存在しますが

ここでは紹介しません。

コンパクト空間

次にコンパクト空間について解説します。

$\mathcal{U}\subset \mathcal{P}(X)$ が被覆であるとは、

$\forall x\in X$ に対して、$\exists U\in \mathcal{U}$ となる

ときをいう。

つまり、$X=\cup \mathcal{U}$ のことと同値。

$\mathcal{U}$ が被覆かつ $\mathcal{U}\subset \mathcal{O}$ となるとき、

$\mathcal{U}$ は開被覆という。

$\mathcal{U}$ が被覆かつ $\mathcal{U}\subset \mathcal{C}$ となるとき、

$\mathcal{U}$ は閉被覆という。

また、$\mathcal{U}$ が被覆かつ $|\mathcal{U}|<\infty$ を満たすとき、

有限被覆という。

また、被覆 $\mathcal{U}$ が $\mathcal{V}\subset \mathcal{U}$

を満たす $\mathcal{V}$ が被覆であるとき、部分被覆という。

$\mathcal{V}\subset\mathcal{U}$ が部分被覆かつ有限被覆であるとき、

有限部分被覆という。

ここでコンパクト空間の定義をしましょう。

定理13.5

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ に対して、

$X$ の任意の開被覆 $\mathcal{U}$ に対して、有限部分被覆が存在するとき、

$(X,\mathcal{O})$ はコンパクト空間という。

同様に、 $A\subset X$ がコンパクト集合であることは、

$A$ が部分空間としてコンパクト空間であることである。

言い換えれば、位相空間 $(X,\mathcal{O})$ において、

$\mathcal{U}\subset \mathcal{O}$ が

$A\subset \cup\mathcal{U}$ を満たすとき、有限部分集合 $\mathcal{V}\subset \mathcal{U}$ 

が存在して、$A\subset \cup\mathcal{V}$ を満たすことをいいます。

コンパクト空間 $X$ に対して、以下の定理が成り立ちます。

定理13.7

$X$ がコンパクト空間であり、

$f:X\to Y$ が連続写像であるとき、$f(X)$ もコンパクトである。

(証明) $\mathcal{U}$ を $f(X)$ の開被覆とする。

$f(X)\subset \cup\mathcal{U}$ を満たすとする。

$\{f^{-1}(U)|U\in \mathcal{U}\}=\mathcal{A}$ は $X$ の開被覆となります。

$X$ のコンパクトであるから、有限集合 $\mathcal{V}\subset\mathcal{U}$  

が存在して、$\cup\{f^{-1}(V)|V\in \mathcal{V}\}$ は $X$ の開被覆

となります。

よって、$\mathcal{V}$ は $f(X)$ の開被覆となります。

つまり、$f(X)$ はコンパクトとなります。$\Box$ 

この定理から、$X$ の任意のコンパクト集合の連続写像による像(つまり連続像)

もコンパクト集合ということになります。

例として、${\mathbb R}$ のコンパクト集合を考えます。

例13.7

$({\mathbb R},\mathcal{O}_{d_1})$ のコンパクト集合は有界である。

(証明) $A$ を有界でない集合とします。

$\forall n$ に対して、$U_n=(-n,n)$ とします。

このとき、$\mathcal{U}=\{U_n|n\in {\mathbb N}\}$ は　$A$ の開被覆である。

$\mathcal{U}$ の任意の有限集合 $\mathcal{V}\subset \mathcal{U}$ の和集合

は、ある開区間$(-M,M)$ に包まれ、$\cup\mathcal{V}=(-M,M)$ となる。$A$ は有界ではないから、$A\not\subset\cup\mathcal{V}$　となります。

これは $\mathcal{V}$ は $A$ の被覆ではない。

つまり、$\mathcal{U}$ には有限部分被覆が存在しないことになります。

よって、$A$ はコンパクトではありません。

この対偶をとることで、$A$ がコンパクト集合なら有界ではないということが

成り立ちます。$\Box$

例13.8

$({\mathbb R},\mathcal{O}_{d_1})$ のコンパクト集合は

閉集合である。

$A\subset {\mathbb R}$ をコンパクト集合とする。

$A$ が閉集合でないとする。

$x\in \overline{A}\setminus A$ をとる。

このとき、$\forall \epsilon >0(Cl(B_{d_1}(x,\epsilon))\cap A\neq\emptyset))$

とする。このとき、

$U_\epsilon=[Cl(B_{d_1}(x,\epsilon))]^c$

とする。

このとき、$\{x\}=\cap_{\epsilon\in {\mathbb R}_{>0}}Cl(B_{d_1}(x,\epsilon))$

($X$ がハウスドルフ空間であることと同値の主張になります。こちらを見てください。)

であるから、${\mathbb R}\setminus\{x\}=\cup_{x\in {\mathbb R}_{>0}}U_\epsilon$

となる。

よって、$\mathcal{U}=\{U_\epsilon|\epsilon>0\}$

は $A$ の開被覆となります。

$\mathcal{V}=\{U_{\epsilon_i}|i=1,2,\cdots, n\}$ は 

$\mathcal{U}$ の任意の有限部分集合とする。

$\epsilon=\min\{\epsilon_i|i=1,\cdots, n\}$ とする。このとき、

$$(\cup\mathcal{V})^c=\cap_{i=1}^nCl(B_{d_1}(x,\epsilon_i))=Cl(B_{d_1}(x,\epsilon))$$

よって、$\cup\mathcal{V}=U_\epsilon$ となります。

$Cl(B_{d_1}(x,\epsilon))\cap A\neq \emptyset$ であり、

$A\setminus U_\epsilon\neq\emptyset$ つまり、$A\not\subset\cup\mathcal{V}$ であるから、

$\mathcal{V}$ は $A$ の開被覆にならないので、

$\mathcal{U}$ は有限部分被覆をもたないことになります。

ゆえに $A$ はコンパクトではありません。$\Box$

${\mathbb R}$ のコンパクト集合はどんなものがあるでしょうか。

最後に次の定理を示します。

定理13.8

閉区間 $[0,1]$ はコンパクト集合

(証明) $[0,1]$ がコンパクトでないとする。

$\mathcal{U}$ が $[0,1]$ の開被覆で、どんな有限部分集合も

被覆にならないとする。

$[0,1/2],[1/2,1]$ のうち、どちらかは、有限部分被覆を持ちません。

もし、両方とも部分被覆を持つとすると、

それらを合わせて、$[0,1]$ の有限部分被覆を持つからです。

よって、それを $[a_1,b_1]$ とします。

また、$[a_1,\frac{a_1+b_1}{2}],[\frac{a_1+b_1}{2},b_1]$ のうち、

どちらかは有限部分被覆を持たないことになります。もし持つとすると、

それらを合わせて、$[a_1,b_1]$ の有限部分被覆をもちます。

それを $[a_2,b_2]$ とします。

このようにして、$[a_1,b_1]\supset [a_2,a_2]\supset [a_3,b_3]\supset \cdots$

を作っていきます。

$[a_n,b_n]\supset[a_{n+1},b_{n+1}]$ は、有限部分被覆を持ちません。

このとき、$a_n$ は単調増加であり、$b_n$ は単調減少です。

$0\le a_n\le b_n\le 1$ であるから、数列 $a_n,b_n$ は実数列の条件から

収束します。

$\text{diam}([a_n,b_n])=|a_n-b_n|=\frac{1}{2^n}\to 0$ であるから、

$a_n,b_n$ は同じ実数 $x$ に収束します。

このとき、$x\in U\in \mathcal{U}$ となる開集合 $U$ が存在して、

$x\in B_{d_1}(x,\epsilon)\subset U$ となる $\epsilon$ も存在します。

また、$1/2^n\to 0$ であるから、$1/2^{n}<\epsilon$ となる自然数 $n$ が

存在するから、

$[a_n,b_n]\subset B_{d_1}(x,\epsilon)\subset U$ です。

しかし、$[a_n,b_n]$ は $\mathcal{U}$ の有限部分被覆 $\{U\}$ が

存在することになります。これは、$[a_n,b_n]$ が有限部分被覆が存在しないことに

反します。

ゆえに、$\mathcal{U}$ は有限部分被覆を持つということになり、

$[0,1]$ はコンパクト集合ということになります。$\Box$