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2022年1月5日水曜日

トポロジー入門(第11回)

[場所オンライン(月曜日3限)]


今回は、連結性と弧状連結性についてやりました。

連結性
位相空間が連結であることは前回定義しました。

定義10.3
位相空間 X が空でも X でもない開集合 U,V 
を用いて、X=U\sqcup V と表せないとき、 X
連結といい、X が連結ではないとき
X不連結という。

この定義を次のように言い換えることができます。

定理10.6
X が連結であることは、X の開かつ閉集合は X もしくは 
\emptyset のみであることと同値である。

となる。
連結集合について定義しておきます。

定義11.1
(X,\mathcal{O}) を位相空間とする。
A\subset X が連結集合であるとは、相対位相
(A,\mathcal{O}_A) が連結空間であることとして
定義する。

つまり、このことは言い換えれば、

任意の開集合 U,V\in \mathcal{O} に対して、
A\subset U\cup V かつ
A\cap U\cap V=\emptyset 
なら、A\subset U もしくは A\subset V
ということになります。

これは、
(A\cap U)\cup(A\cap V)=A であることは、A\subset U\cup V と同値
(A\cap U)\cap (A\cap V)=\emptyset であることは A\cap U\cap V=\emptyset と同値
A\cap U=A であることは A\subset U と同値
A\cap V=Aであることは A\subset V と同値
であることからわかります。

最終的に、A\subset U もしくは A\subset V が成り立つのですが、
このうちどちらかしか成り立ちません。

いくつかの例の前に以下を示しておきます。

定理11.1
({\mathbb R},\mathcal{O}_{d_1}) は連結である。

(証明) {\mathbb R} が連結でないとします。
{\mathbb R}=U\sqcup V となる空ではない開集合 U,V
存在することになります。
a\in U かつ b\in V をとり、
a<b としておきます。もしそうでなかったら、U,V の役目を入れ替えれば
実現出来ます。
c=\sup\{x\in U|x\le b\}
とおきましょう。
このとき、\epsilon >0 が存在して、B_{d_1}(c,2\epsilon )\subset U となります。
しかし、c+\epsilon\in U であり、c+\epsilon<b であることから、
c=\sup\{x\in U|x\le b\} であることに反します。
よって、c\in V ということになります。
同様に、\delta>0 が存在して、B_{d_1}(c,\delta)\subset V  となり
(c-\delta,c]\subset V が成り立ちます。
これは、c\{x\in U|x\le b\} の上限であることに反します。
もし上限であるなら、\forall \epsilon>0 に対して、c-\epsilon <x\le c
となるx\in U が存在するからです。
よって cU,V のどちらも含まれないので {\mathbb R}=U\cup V
であることに反します。
よって、{\mathbb R} が連結になるということになります。\Box

ここで次の定理を示しておきましょう。

定理11.2
X,Y を位相空間とする。f:X\to Y を全射連続写像とする。
X が連結なら Y も連結である。

(証明) U\subset Y を開かつ閉集合とします。
このとき、f^{-1}(U) も開かつ閉集合です。
X は連結なので 
f^{-1}(U)=\emptysetf^{-1}(U)=X となります。
Y が全射であることから、U=\emptyset もしくは Y となります。
これは Y が連結であることを意味します。\Box

このことから、f が全射でなくても、X が連結なら
f(X) も連結であることが分かります。

また、A\subset X が連結集合であるなら、f(A) は連結
ということになります。

つまり、
連結集合の連続写像による像(連続像といいます)は連結ということになります。

このことから、連結性は位相的性質になることも分かります。
なぜなら
f:X\to Y が同相であるとします。
このとき、X が連結とすると、定理11.2から Y も連結になります。
よって、連結性は位相的性質になるからです。

次の定義をしましょう。

定義11.2
a\in X に対して、a を含む連結集合の内最大のものを
a連結成分といい、C_X(a) と書く。
また簡単に C(a) と書くこともある。

a\sim x は同じ連結成分に属するとして X 上に同値関係を定めることができます。
そうすると、
X のこの同値関係の同値類によって、分解
X=\sqcup_{\lambda\in \Lambda}C_X(a_\lambda)
を与えることができます。
これを連結成分分解といいます。

X が連結であることは、X=C_X(a)
のようにX の任意の元がただ1つの連結成分に属することと同値になります。

ここで次の定理を示しておきます。

命題11.2
A\subset X が開かつ閉集合であれば、
AX の連結成分のいくつかの和集合となる。

(証明) A が開かつ閉集合とします。このとき、
\forall a\in A に対して、A\cap C_X(a)\subset C_X(a)
より、A\cap C_X(a)C_X(a) の開かつ閉集合になります。
C_X(a) は連結であり、a\in A\cap C_X(a) は空ではないから
A\cap C_X(a)=C_X(a) となります。
よって、C_X(a)\subset A ととなり、よって、\forall a\in A に対して、C_X(a)\subset A であるから
\cup_{a\in A}C_X(a)\subset A また、A\subset \cup_{a\in A}C_X(a)
であるから
A=\cup_{a\in A}C_X(a)
となり、A はいくつかの連結成分の和集合となります。\Box

この証明の途中で用いたことを復習しておきます。

相対位相の閉集合について
A\subset X での相対位相において、
A における開集合は X の開集合 U を用いて A\cap U と書き表されます。

(証明) A における閉集合 F は、A-F=A\cap F^c より A における開集合だから、
A\cap F^c=A\cap U となる X の開集合 U が存在します。
よって、この補集合を取ると、
A^c\cup F=A^c\cup U^c
A^c\cap F=\emptyset であるから、A^c の部分を取ると、
F=(A^c\cup U^c)\cap A=(A^c\cap A)\cup (U^c\cap A)=A\cap U^c
よって、A 上の閉集合は、X のある閉集合 G を用いて、
A\cap G とかけることがわかります。

次の定理を示しましょう。

定理11.4
連結集合 A に対して、A\subset B\subset \overline{A} 
を満たす任意の集合 B は連結である。

(証明) B\subset U\cup V を満たす X の開集合
B\cap U\cap V=\emptyset を満たすとします。
このとき、
B\cap U\neq \emptyset を満たすと仮定します。
このとき、 B\subset \overline{A} であるから
\overline{A}\cap U\neq \emptyset です。
x\in\overline{A}\cap U をとります。
このとき、U は開集合だから U\in \mathcal{N}(x) となります。
よって、A\cap U\neq \emptyset を満たします。
A は連結だから、
A\subset U\cup V かつ A\cap U\cap V=\emptyset より
A\subset U もしくは A\subset V です。
しかし、A\cap U\neq \emptyset であるから A\subset U です。
よって、A\cap V=\emptyset であるから \overline{A}\cap V=\emptyset
である。つまり、B\cap V=\emptyset です。
このことから、B\subset U が分かります。

また、B\cap V\neq \emptyset である場合からも、
同じように B\subset V が証明することができます。\Box

この定理から次が成り立ちます。

定理11.5
任意の a\in X に対して、連結成分 C(a) は閉集合である。

(証明) C(a)\subset \overline{C(a)} が成り立つ。
また定理11.4から \overline{C(a)} は連結になります。
連結成分の最大性により、\overline{C(a)}\subset C(a) 
が成り立ちます。この包含関係から、
C(a)=\overline{C(a)} が成り立つ、つまり C(a) が閉集合になります。

(a,b)\subset {\mathbb R}{\mathbb R} と同相であるから、
連結は位相的性質なので、(a,b) も連結性になります。
この閉包 [a,b] も同相になります。

命題11.3
\forall r\in {\mathbb Q} に対して、r の連結成分 C(r) について
C(r)=\{r\} が成り立ちます。

(証明) \forall r,s\in {\mathbb Q} に対して、
r<s に対して、r<q<s となる無理数 q が存在して、
{\mathbb Q}\cap (-\infty,q)={\mathbb Q}\cap (-\infty,q]
は開かつ閉集合であるから、{\mathbb Q}\cap (-\infty,q]
連結成分の和集合つまり、C(r)\subset {\mathbb Q}\cap (-\infty,q]
であり、
同様に、C(s)\subset {\mathbb Q}\cap [q,\infty)
であるから、C(r)\cap C(s)=\emptyset であるから、
\forall r\in{\mathbb Q} の連結成分は r のみとなります。\Box

このように、\forall a\in X に対して、C_X(a)=\{a\}
であるとき、X完全不連結であるという。

よって、({\mathbb Q},\mathcal{O}_{d_1}) は完全不連結であり、
ゾルゲンフライ直線 ({\mathbb R},\mathcal{O}_{l}) も完全不連結となります。

また、連結性の最後に中間値の定理を示しました。

定理11.6
位相空間 X と連続関数 f:X\to {\mathbb R} をとる。
X の連結な部分集合 A に対して、
a,b\in Af(a)<f(b) を満たすとする。
このとき、$f(a)<\forall  c <f(b) となる c$ に対して、
f(x)=c となる x\in A が存在する。

(証明)A は連結なので、f(A)\subset {\mathbb R} も連結であり、
f(a),f(b)\in f(A) が成り立ちます。
よって、このとき、f(a)<c<f(b)f(x)=c となる x が存在しないとする。
このとき、B=f(A)\cap (-\infty, c)=f(A)\cap (-\infty ,c] より、
B は空でも全体でもない f(A) の開かつ閉集合であるから矛盾する。
よって、f(x)=c となる x\in A が存在する。\Box


弧状連結性
弧状連結の定理をしましょう。

定義11.4
位相空間 X弧状連結であるとは以下を満たすことを意味します。
\forall a,b\in X に対して、ある連続写像 f:I\to X
存在して、f(0)=a かつ f(1)=b を満たす。

ここで、I は閉区間 [0,1] です。
すぐにわかるのは次の定理です。

定理11.7
弧状連結なら連結である。

(証明)X が弧状連結であるとします。
このとき、\forall a,b \in X に対して、連続写像 f:I\to X が存在して
f(0)=a かつ f(1)=b を満たし、つまり、a,b\in f(I)\subset X を満たします。
I が連結であるから、f(I) も連結になり、f(I)\subset C(b) であるから
ab の連結成分に属します。
つまり、a\in C(b) であり、つまり X\subset C(b) より
X=C(b) となります。つまり X は連結となります。\Box

この定理の逆は一般には成り立ちません。
つまり、連結だが、弧状連結であるものが存在します。

定理11.8
J=\left\{\left(x,\sin\frac{1}{x}\right)|x\in {\mathbb R}_{>0}\right\}
とし、
I=\{(0,t)|-1\le t\le 1\}
とする。このとき X=I\cup J は連結であるが、弧状連結ではない。

J は下の図のようなグラフになっており、
I はこの y -軸の [-1,1] の区間です。




(証明)連結性について
J{\mathbb R}_{>0} 上の連続関数 \sin \frac{1}{x} のグラフであり
連続像になります。よって、定理11.2から J は連結。
また、\forall (0,t)\in I に対して、数列 \left(\frac{1}{2n\pi+\text{arcsin}t},t\right)
は、J 上の点列であり、n\to \infty において (0,t) に収束するので、
(0,t)\in \overline{J} となります。
これは、I\cup J\subset \overline{J} であることを示しており、
I\subset I\cup J\subset \overline{J}
から、定理11.4 から X=I\cup J も連結ということになります。

非弧状連結について
O\in X{\mathbb R}^2 の原点とし A=(\frac{1}{\pi},0) がある連続写像
f:I\to X によって f(0)=O かつ f(1)=A とならないことを示します。
もし結べるとすると、連続写像 f:[0,1]\to X が存在して、
f(0)=Oかつ f(1)=A を満たします。
そうすると、今、f^{-1}(O)=0 と仮定しておきます。
このとき、
B_{d_2}(O,\frac{1}{2})をとり、
0\in f^{-1}(B_{d_2}(O,\frac{1}{2})) の近傍[0,\delta) が存在して、
[0,\delta)\subset f^{-1}(B_{d_2}(O,\frac{1}{2}))を満たします。

ここで、B は下の円の内側になります。



そうすると f^{-1}(O)=0 と仮定したことから \text{pr}_1(f([0,\delta)))=[0,a) となる
a>0 が存在します。
よって、\frac{2}{(4n+1)\pi}<a を満たすn が存在し、
(\frac{2}{(4n+1)\pi},1)\in f([0,\delta))\subset B を満たします。
しかし、(\frac{2}{(4n+1)\pi},1)\not\in B であるので、
矛盾します。
よって、X は弧状連結ではないということになります。\Box 

途中で、f^{-1}(O)=0 と仮定しましたが、
これは簡単に証明できます。\{t\in I|f(t)=O\} となるものの
\supt_0 を取り、[t_0,1][0,1] に線形に引き伸ばしたものを
f に合成したものを再び f とおけば良いです。

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