トポロジー入門(第10回)

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今回は商位相空間と連結性について解説しました。

商位相

まず、次の定義をします。

定義10.1

$(X,\mathcal{O}_X)$、$(Y,\mathcal{O}_Y)$ を位相空間とし、

$f:X\to Y$ を全射とする。

$$f^{-1}(U)\in \mathcal{O}_X\Leftrightarrow U\in \mathcal{O}_X$$

が成り立つとき、$f$ は商写像という。

すぐわかることは、商写像なら連続ということです。

上の⇐が $f$ の連続性を意味するからです。

しかし、商写像は全射連続だけではありません。

その条件をまずは見ていきます。

商写像の例として、連続で開な全射があります。

定理10.1

$f:(X,\mathcal{O}_X)\to (Y,\mathcal{O}_Y)$ が連続な全射な開写像なら、$f$ は商写像。

(証明) 連続性は仮定されているから、写像であることの$\Rightarrow$ 

を示せばよいです。

$U\in \mathcal{P}(Y)$ に対して、$f^{-1}(U)\in \mathcal{O}_X$

なら、$f$ が開写像であることから $f(f^{-1}(U))=U\in\mathcal{O}_Y$

分かります。

よって、写像の条件の$\Rightarrow$ が分かります。

このことから $f$ は商写像であることがわかります。 $\Box$

商写像の特徴付けをここで与えます。

定理10.3

全射 $f:(X,\mathcal{O}_X)\to (Y,\mathcal{O}_Y)$

が商写像であることとは、

$\mathcal{O}_Y$ が $f$ を連続にする最大の位相であることの

必要十分条件である。

$\mathcal{O}_Y$ が $f$ を連続にする最大の位相であるとは、

$\mathcal{O}$ が $f:(X,\mathcal{O}_X)\to (Y,\mathcal{O})$ を連続とする

任意の位相なら $\mathcal{O}\subset\mathcal{O}_Y$ であることを意味します。

(定理10.3の証明) (十分性) $f$ が商写像であるとします。

このとき、$\mathcal{O}$ を $f:(X,\mathcal{O}_X)\to (Y,\mathcal{O})$ を連続にする任意の位相なら

$\forall U\in \mathcal{O}$ に対して、$f^{-1}(U)\in \mathcal{O}_X$

であることから、商写像の定義から $U\in\mathcal{O}_Y$ が分かります。

ゆえに、$\mathcal{O}\subset\mathcal{O}_Y$ となります。このことから

$\mathcal{O}_Y$ は $f$ を連続にする最大の位相であることが分かります。

(必要性) $\mathcal{O}_Y$ が $f$ を連続にする最大の位相とする。

まず $f$ が連続であることから、商写像の条件の$\Leftarrow$ が成り立つ。

商写像の条件の $\Rightarrow$ を示す。

任意の $f^{-1}(U)\in \mathcal{O}_X$ に対して、

$\mathcal{O}=\{\emptyset,U,Y\}$ は $Y$ 上の位相であり、$f:(X,\mathcal{O}_X)\to (Y,\mathcal{O})$ は連続である。

ここで、$\mathcal{O}_Y$ は $f$ を連続にする最大の位相であったから $\mathcal{O}\subset \mathcal{O}_Y$ が分かる。

特に、$U\in\mathcal{O}_Y$ である。

よって、これは、$f:(X,\mathcal{O}_X)\to (Y,\mathcal{O}_Y)$ が商写像

であることを意味します。$\Box$

ここで、 次の定義をしましょう。

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ と全射 $f:X\to Y$ が存在したとき、

$Y$ 上の $f$ の最小にする位相を $\mathcal{O}_f$ と書くことにします。

このとき、直前の定理から $\mathcal{O}_f$ は 

$(X,\mathcal{O})\to (Y,\mathcal{O}_f)$ が

商写像となるような $Y$ 上の位相ということになります。

そのような位相の一意性もわかることになります。

このとき、$\mathcal{O}_f$は、

$$\{U\subset Y|f^{-1}(U)\in\mathcal{O}_X\}$$

としても定義されます。

このようにして、全射 $f:X\to Y$ を通して、$X$ 上の位相から

$f$ の連続性を通して $Y$ 上の位相を"標準的に"作る唯一の方法があることになります。

この方法を通して、商集合 $X/\sim$ を位相空間にすることができます。

商集合とは、集合 $X$ 上に導入された同値関係$\sim$ 

によって作られる同値類全体の集合のことです。

$\sim$ が同値関係であるとは、$\forall a,b,c\in X$ に対して、

(i) $a\sim a$

(ii) $a\sim b\rightarrow b\sim a$

(iii) $a\sim b$ かつ $b\sim c$ ならば $a\sim c$

を満たす２項関係のことです。

このとき、$C(a)=\{x\in X|a\sim x\}$ として同値類を表します。

この同値類全体の集合 $\{C(a)|a\in X\}$ を商集合といい、

$X/\sim$ と書くのでした。

写像 $p:X\to X/\sim$ を

$a\mapsto C(a)$ として定めたとき、

$p$ を自然な射影といいます。

記号の使い方として、$C(a)$ のことを $[a]$ とかぎかっこを

使って書くことがあります。

今、$X$ 上に位相 $\mathcal{O}$ が入っていたとき、

自然な射影 $p:X\to X/\sim$ を通して、$X/\sim$ に

位相を入れることができます。

この時できる $(X/\sim,\mathcal{O}_p)$ を

$X/\sim$ 上の商位相空間($\mathcal{O}_p$ を商位相)といいます。

つまり、$p$ が商写像となるような位相空間を $X/\sim$ 

上に導入したことになります。

例10.4

$({\mathbb R}^2,\mathcal{O}_{d_2})$ 

に、同値関係として、$(x_1,y_1)\sim(x_2,y_2)\leftrightarrow x_1=x_2$

として導入する。自然な射影を $p$ とします。

$(x,y)$ を含む同値類を $[x,y]$ と表すことにします。

このとき、構成される商位相空間 $({\mathbb R}^2/\sim,\mathcal{O}_{d_2,p})$

は $({\mathbb R},\mathcal{O}_{d_1})$ と同相になります。

実際、$\varphi([x,y])=f(x)$ として定義すると

$\varphi:{\mathbb R}^2/\sim\to {\mathbb R}$ は同相になります。

まず写像になることは、$[x,y]=[x',y']$ なら、$\varphi([x,y])=x=x'=\varphi([x',y'])$

であるからです。

単射性は、$\varphi([x,y])=\varphi([x',y'])$ なら、$x=x'$ が成り立ち、

同値関係の定義から $(x,y)\sim (x',y')$ が成り立つので、$[x,y]=[x',y']$

が成り立ちます。

全射性は、$\forall x\in {\mathbb R}$ に対して $z\in {\mathbb R}$ を

任意に選ぶと、$\varphi([x,z])=x$ が得られることからわかります。

同相であることは次の定理の証明に一般化して証明します。

定理10.4

$f:(X,\mathcal{O}_X)\to (Y,\mathcal{O}_Y)$ を商写像とする。

このとき、$f(x)=f(x')\leftrightarrow x\sim x'$ として 

$X$ に同値関係 $\sim$ を導入する。その自然な射影を $p$ とする。

このとき、商位相空間 $(X/\sim,\mathcal{O}_p)$ は 

$(Y,\mathcal{O}_Y)$ と同相である。

(証明) $\varphi:X/\sim\to Y$ を $\varphi([x])=f(x)$ として定義すると

$\varphi$ が写像であることや、全単射であることは上記の例10.4と

同様の証明をすることでわかります。

また、$\varphi([x])=\varphi(p(x))=\varphi\circ p(x)=f(x)$

であることから、$\varphi\circ p=f$ であることもわかります。

$\varphi$ が同相写像であることを示そう。

(連続性)　 $U\in \mathcal{O}_Y$ とすると、$p^{-1}(\varphi^{-1}(U))=(\varphi\circ p)^{-1}(U)=f^{-1}(U)$

より、$f$ の連続性から $p^{-1}(\varphi^{-1}(U))\in \mathcal{O}_X$ であることが

わかり、$p$ が商写像であることから$\varphi^{-1}(U)\in \mathcal{O}_{X,p}$

であることが分かります。これは、$\varphi$ が連続であることを意味します。

(開写像性)　$V\in \mathcal{O}_{X,p}$ に対して、

$p^{-1}(V)=p^{-1}(\varphi^{-1}(\varphi(V)))=(\varphi\circ p)^{-1}(\varphi(V))=f^{-1}(\varphi(V))$

であり、$p$ が連続であることと $f$ が商写像であることから、$\varphi(V)\in \mathcal{O}_{Y}$

であることがわかります。

これは$\varphi$ が開写像であることを意味します。

全単射な連続な開写像は同相写像であるから、$f$ は同相写像となります。$\Box$

これらのことから、例10.4の写像

$({\mathbb R}^2/\sim,\mathcal{O}_{d_2,p})\to ({\mathbb R},\mathcal{O}_{d_1})$

は同相写像であることがわかります。

ここで次の定理を用意します。

定理10.5

$f:X\to Y$ を連続写像とする。

このとき、$\tilde{f}:X\to f(X)$ を $\tilde{f}(x)=f(x)$ 

とするとき、$\tilde{f}$ も連続である。

この定理は、連続写像の終域を像に縮めた写像も連続であることを

主張しています。ここで、$f(X)$ の位相は $Y$ からくる相対位相と

考えます。証明は易しいのでここでは省略します。

例10.5

${\mathbb S}^1=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2|x^2+y^2=1\}$ とおきます。

$f:{\mathbb R}\to {\mathbb S}^1$ を$f(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)$ とします。

${\mathbb S}^1\subset{\mathbb R}^2$ の相対位相は、

${\mathbb R}$ 上の同値関係 $\theta\sim \theta'\leftrightarrow \theta_1-\theta_2\in 2\pi{\mathbb Z}$

によって得られる商位相空間と同相となります。

(証明)

$\tilde{f}:{\mathbb R}\to {\mathbb R}^2$ を$\tilde{f}(\theta)=f(\theta)$

として得られるものとします。

$\tilde{f}$ は連続となります。$\mathcal{O}_{d_2}$ は $\mathcal{O}_{d_1}$

の2つの直積位相になるので、

$\tilde{f}:{\mathbb R}\to {\mathbb R}^2$ が連続であるためには、

$\text{pr}_1\circ \tilde{f}(\theta)=\cos\theta$

$\text{pr}_2\circ \tilde{f}(\theta)=\sin\theta$

が連続であることが必要十分ですが、$\cos\theta$ や $\sin\theta$ は

連続関数なので $\tilde{f}$ は連続写像であることが分かります。

上の定理10.5から $f$ は連続となることがわかります。

$U\in \mathcal{O}_{d_1}$ とすると、$U=\cup_{\lambda\in \Lambda}(a_\lambda,b_\lambda)$

のように開区間の和集合になります。

$f(U)=\cup_{\lambda\in \Lambda}f((a_\lambda,b_\lambda))=\cup_{\lambda\in \Lambda}(f(a_{\lambda}),f(b_{\lambda}))$

$\{(\cos\theta,\sin\theta)|a<\theta<b\}$ が ${\mathbb S}^1$

の相対位相の開基となるので、$f(U)\in \mathcal{O}_{d_2,{\mathbb S}^1}$　となります。

よって、$f$ は全射連続開写像であるから$f$ は商写像になります。

よって、$f$ によって得られる同値関係は、

$f(\theta)=f(\theta')\leftrightarrow (\cos\theta,\sin\theta)=(\cos\theta',\sin\theta')\leftrightarrow \theta_1-\theta_2\in 2\pi{\mathbb Z}$

が成り立ちます。

ゆえに、${\mathbb R}$ に $\theta_1\sim\theta_2\leftrightarrow \theta_1-\theta_2\in 2\pi{\mathbb Z}$ であるように

いれた同値関係による商位相空間 $({\mathbb R}/\sim,\mathcal{O}_p)$

は相対位相空間 $({\mathbb S}^1,\mathcal{O}_{d_2,{\mathbb S}^1})$ 

に$\varphi$ を介して同相になります。

つまり、

$$\varphi:({\mathbb R}/\sim,\mathcal{O}_p)\to ({\mathbb S}^1,\mathcal{O}_{d_2,{\mathbb S}^1})$$

は同相になります。$\Box$

連結性

次に連結性に入りましたが、定義のみで終わりました。

定義10.3

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ が空でも $X$ でもない

開集合 $U,V$ を用いて $X= U\sqcup V$ と表せないとき

$X$ は連結という。

$X$ が連結ではないとき、$X$ は非連結という。

ここで、$\sqcup$ は交わりのない和集合を意味します。

連結性は、「表せないとき」ということを条件としており、

理解がしずらいです。

ですので少し次のように言い換えましょう。

定理10.6

$X$ が連結であるとは、$X$ の開かつ閉集合は $X$ もしくは $\emptyset$ 

のみであることと同値である。

(証明) $X$ が不連結であるとすると、空でも、$X$ でもない 開集合

$U,V\subset X$が存在して

$X=U\cup V$ が成り立ちます。このとき、$U^c=V$ は開集合であるから

$U$ は開かつ閉集合となります。

よって、空でも $X$ でもない開かつ閉集合が存在します。

空集合と $X$ は開かつ閉集合であるから、

この否定は、空もしくは $X$ ではない開かつ閉集合が存在しないとき連結性を

意味することになります。$\Box$