トポロジー入門演習(第14回)

[場所1E202（月曜日4限）]

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今回は授業中、コンパクトについて一部説明をしました。
ここではコンパクトについて超基本的なことのみ書いています。

$X$ を集合とします。
$\mathcal{U}\subset \mathcal{P}(X)$ が被覆であるとは、$X=\cup\,\mathcal{U}$ となるものをいいます。
また、$(X,\mathcal{O})$ を位相空間とします。
$\mathcal{U}\subset \mathcal{O}$ かつ $X=\cup\,\mathcal{U}$ を満たすとき、$\mathcal{U}$ を開被覆といいます。
被覆 $\mathcal{U}$ が有限個の部分集合となるとき、
$\mathcal{U}$ を有限被覆といいます。
$\mathcal{U}$ が被覆であり、$\mathcal{V}\subset \mathcal{U}$ かつ、
$X=\cup\,\mathcal{V}$ となるとき、$\mathcal{V}$ を $\mathcal{U}$ の部分被覆という。
また、部分集合 $A\subset X$ の(開)被覆とは、$A\subset \cup\,\mathcal{U}$ となる
$X$ の(開)集合族のことを言います。
これは $A$ での部分位相空間がコンパクト空間であることと同値です。

コンパクト空間
位相空間 $(X,\mathcal{O})$ がコンパクトであるとは、
任意の開被覆 $\mathcal{U}$ に対して、その有限部分被覆 $\mathcal{V}$ が
存在することをいう。

この部分被覆は開集合からなるので、開被覆となります。

コンパクト空間の例は、閉区間 $[0,1]$ があります。

閉区間がコンパクトであることの証明

その証明は、以下のようにします。
背理法として、$[0,1]$ のある開被覆 $\mathcal{U}$ に対して、
$\mathcal{U}$ のどの有限部分被覆も $[0,1]$ を覆えない、
つまり、$\mathcal{U}'$ を $\mathcal{U}'\subset \mathcal{U}$ となる
任意の有限集合とします。
このとき、$\cup\,\mathcal{U}\neq [0,1]$ を満たします。
もし、$[0,1]=[0,1/2]\cup[1/2,1]$ とすると、そのどちらかは $\mathcal{U}$
において、有限部分被覆を持ちません。
もし、どちらも有限部分被覆を持ったとすると、それらの和集合をとることで
$[0,1]$ に $\mathcal{U}$ の有限部分被覆を持つことになってしまいます。

よって、有限部分被覆を持たない方の区間を $[a_1,b_1]$ とします。
つまり、$[a_1,b_1]$ は $\mathcal{U}$ の有限部分被覆を持ちません。

また、$[a_1,b_1]=[a_1,\frac{a_1+b_1}{2}]\cup[\frac{a_1+b_1}{2},b_1]$ としたとき、
$[a_1,\frac{a_1+b_1}{2}]$, $[\frac{a_1+b_1}{2},b_1]$ のどちらかには
$\mathcal{U}$ の有限部分被覆を持ちません。
というのも、もし持ったとすると、それら2つの和集合をとることで、
$[a_1,b_1]$ において $\mathcal{U}$ の有限部分被覆を持ってしまいます。
これは仮定に反します。

よって、有限部分被覆を持たない方 $[a_2,b_2]$ とします。
これを続けることで、$[0,1]\supset [a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset \cdots$
のように直径が0に収束するような区間の縮小列を作ることができます。
この区間のいずれも、$[a_n,b_n]$ において、$\mathcal{U}$ の
有限部分被覆を持ちません。

ここで、区間縮小法の原理により、$\cap_{n=1}^\infty[a_n,b_n]$ は1点からなり、
それを $x$ とします。$x\in U\in \mathcal{U}$ を選ぶと、$U$ は開集合であるから、
$(x-\epsilon,x+\epsilon)\subset U$ となる $\epsilon>0$ を見つけることができます。
さらに、数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ は、$a_n\to x$ かつ $b_n\to x$ を満たす
数列であるから、ある $n\in {\mathbb N}$ が存在して、
$a_n,b_n\in (x-\epsilon,x+\epsilon)$ を満たします。
よって、$[a_n,b_n]\subset (x-\epsilon,x+\epsilon)\subset U\in \mathcal{U}$
であるから、これは、$[a_n,b_n]$ において、$\mathcal{U}$  の有限部分被覆を持たないことに反します。
よって、$[0,1]$ がコンパクトということになります。

他の例としては、有限集合などもコンパクトの例ですし、
コンパクト空間の直積もコンパクトになります。
直積によって性質が保存されますが、この性質は、コンパクト集合の族が無限個あっても成り立ちます(チコノフの定理)。
例えば、カントール集合は、$\{0,1\}^{\mathbb N}$ (2点集合の自然数個の積空間)
 と同相ですから、カントール集合もコンパクトということになります。
ただ、この時間では、有限直積しか習っていませんので、無限直積にに関しては
この段階ではまだでてきていません。

一般に、コンパクト集合の中の閉集合はコンパクトですから、$C\subset [0,1]$ を
3進カントール集合とすると、$C$ は閉集合ですから、$C$ がコンパクト
ということもできます。

コンパクト集合の閉集合がコンパクトであることは、容易に示すことができます。
(証明)
$A\subset X$ をコンパクト空間 $X$ の中の閉集合
とします。この時、$X\setminus A$ は開集合であるから、$A$ の任意の開被覆を $\mathcal{U}$
とする時、$\mathcal{U}\cup\{X\setminus A\}$ は $X$ の開被覆です。
$X$ のコンパクト性から、$\mathcal{U}$ の有限集合 $\mathcal{V}$ が存在して、
$\{X\setminus A\}\cup \mathcal{V}$ が $X$ を覆うことになります。
よって、$\mathcal{V}$ は $A$ の被覆になっており、$\mathcal{U}$
の部分被覆が存在することになります。
よって、$A$ はコンパクト。

連結性
位相空間 $(X,\mathcal{O})$ が連結であることの定義は、
$X$ が、$X=U\cup V$ かつ $U\cap V=\emptyset$ を満たす空ではない開集合 $U,V$ が
存在しないことを言います。

もし $X$ が連結でないとすると、ある2つの空ではない開集合
 $U,V$ が存在して、$X=U\cup V$ かつ $U\cap V=\emptyset$ となります。
よって、$U$ は開集合かつ閉集合となります。
$V$ もそうです。

よって、位相空間が連結であることは以下のように言い表すこともできます。
$X$ が連結であるとは、$X$ の開かつ閉集合 $U$ が存在したとすると、
$U=X$ もしくは、$U=\emptyset$ である。

つまり、位相空間が連結であることは、開かつ閉集合が2種類しかないことを意味します。

また、部分集合 $A\subset X$ が連結であるとは、$A$ が部分位相空間として
連結であることを指します。

基本的な性質としては、以下のものが挙げられます。
連結集合の連続像が連結。

つまり、$f:X\to Y$ が連続写像であり、$A\subset X$ が連結集合であれば、
$f(A)$ も $Y$ の連結集合となります。

また、連結集合の例で言えば、${\mathbb R}$ は
連結であるし、$[0,1]$ も連結となります。

${\mathbb R}$ が連結であることの証明は今回のプリントで
ヒント付きで出しましたので解いてみてください。