トポロジー入門演習(第8回)

[場所1E202（月曜日4限）]

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ここでは可算公理の周辺の基礎知識についてまとめておきます。
可算公理
可算公理には、第1可算公理と第2可算公理の2種類あります。

第1可算公理は、各点の基本近傍系として可算個のものが存在すること。
第2可算公理は、可算個の開基をもつこと。

をいいます。

また、可分であるとは、
可算な稠密部分集合が存在することをいいます。

基本的な性質を述べていきます。

まず、

距離空間なら、第1可算公理が成り立ちます。
$\mathcal{N}^\ast(x)=\{B(x,\frac{1}{n})|n\in{\mathbb N} \}$ は距離空間の基本近傍系
となります。

$(X,\mathcal{O})$ を距離位相空間とします。
$V$ を $x$ の近傍とします。
このとき、$x$ は$V$の内点であるので、$x\in V^i$
であり、ある$\epsilon$ が存在して、$B(x,\epsilon)\subset V^i\subset V$ となります。
また、アルキメデスの公理により、$\frac{1}{n}<\epsilon$ となる自然数
$n$ が存在する。つまり、
$B(x,\frac{1}{n})\subset B(x,\epsilon)\subset V^i\subset V$ となるので、
$\mathcal{N}^\ast(x)$ は基本近傍系の条件を満たします。

つまり、第1可算公理は位相空間が距離空間であるための必要条件です。

また、

第2可算であれば、可分かつ第1可算が成り立ちます。

$\mathcal{B}$ を位相 $\mathcal{O}$ の可算開基とします。
つまり、$\mathcal{B}$ は可算個の集合からなる開基です。
$V\in \mathcal{B}$ に対して、$x_V\in V$ を一つ選んでおきます。
このとき、$A=\{x_V|V\in \mathcal{B}\}$ とすると、
$A$ は $X$ の可算稠密集合となります。

$\bar{A}=X$ となることを示します。

$\forall x\in X$ とします。 $x\in U$ を$x$ の近傍とします。
このとき、開基の性質から、$x\in V\subset U^i$ となる $V\in \mathcal{B}$ が
存在します。このとき、$x_V\in V$ であるから、$V\cap A\neq \emptyset$ となります。
よって、$\emptyset \neq V\cap A\subset U\cap A$ より、$U\cap A\neq \emptyset$ となります。
$A$ は $x$ の任意の近傍と共通部分を持つので、$A$ は $X$ において稠密となります。

また、第2可算公理を満たす空間が第1可算公理を満たすことは、
$\mathcal{N}^\ast(x)=\{V\in \mathcal{B}|x\in V\}$ とおくと、この集合は可算個からなり、

$x$ の任意の近傍 $V$ に対して、$x\in U\subset V^i$ となる開基の元 $V\in \mathcal{B}$
が存在し、とくに条件から、$V\in \mathcal{N}^\ast(x)$ となる。
ゆえに、$\mathcal{N}^\ast(x)$ は、$x$ の基本近傍系であり、可算個の集合からなるから
第1可算である。


さらに、

距離空間であれば、可分な空間は、第2可算公理を満たします。

距離空間なら第1可算公理を満たすので、可算個からなる
基本近傍系 $\mathcal{N}^\ast(x)=\{B(x,\frac{1}{n})|n\in {\mathbb N}\}$ をとっておきます。
また、$A$ を $X$ の稠密可算集合とします。
このとき、$\mathcal{B}=\{V|V\in \mathcal{N}^\ast(x),x\in A\}$ となる集合をとると、
$\#\mathcal{B}\le \aleph_0\times \aleph_0\approx \aleph_0$ であるので
$\mathcal{B}$ は開集合からなる可算集合となります。

いま、$U\in \mathcal{O}$ を任意の開集合とします。

このとき、近傍 $B(x,\frac{1}{n})$ が存在して、
$x\in B(x,\frac{1}{n})\subset U^i\subset U$ となります。
ここで、$A$ の稠密性により、$a\in B(x,\frac{1}{2n})\cap A$ が存在して、$d(x,a)<\frac{1}{2n}$ を満たします。
$x\in B(a,\frac{1}{2n})\subset B(x,\frac{1}{n})\subset U$
となります。

つまり、$\mathcal{B}$ はこの位相空間の開基となります。

よって、
距離空間ならば、可分であることと第2可算であることは同値になります。

この同値性は、距離空間を第1可算公理を満たす空間に弱めると成り立ちません。
その反例がゾルゲンフライ直線です。


下限位相(ゾルゲンフライ直線)
とは、$\{[a,b)|a,b\in {\mathbb R}\}$ を開基として定義される ${\mathbb R}$ 上の
位相空間のことを言います。

このように、開基を1つ指定してやることで1つの位相空間を定めることができます。
比較のために書いておけば、$\{(a,b)|a,b\in {\mathbb R}\}$ を開基として定めた
位相空間は、通常の ${\mathbb R}$ 上の位相空間となります。

ゾルゲンフライ直線は、通常と開基の入れ方が違うので、${\mathbb R}$ とは
異なる位相空間となります。

※開基の入れ方が異なるから異なる位相空間となるとは限らないことは注意しておきます。
例えば、${\mathbb R}$ 上の通常の距離位相空間は、$d_1(x,y)=|x-y|$ として
距離を定義して得られる $\mathcal{B}_1=\{B_{d_1}(x,\epsilon)|\epsilon>0\}$ を開基とするのと、
$d_2(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$ を距離として、$\mathcal{B}_2=\{B_{d_2}(x,\epsilon)|\epsilon>0\}$
を開基とするのでは開基の集合は異なりますが、同じ位相を定めます。
例えば、$\mathcal{B}_1$ は全体集合 ${\mathbb R}$ は含まれないが、$\mathcal{B}_2$ には
全体集合 ${\mathbb R}$ が含まれている。

しかし、ゾルゲンフライ直線と通常の距離位相は異なります。

まず、ゾルゲンフライ直線は、第1可算空間です。
$\mathcal{N}^\ast(x)=\{[x,x+\frac{1}{n})|n\in {\mathbb N}\}$
は、可算個の基本近傍系となります。

また、${\mathbb Q}$ は可算個の稠密部分集合となります。
しかし、

第2可算公理を満足しません。
$\mathcal{B}$ をゾルゲンフライ直線の開基とします。
$a\in {\mathbb R}$ と $[a,b)$ とすると、$a\in V_a\subset [a,b)$
となる $V\in \mathcal{B}$ が存在することになります。
$\min{V_a}=a$ なので、$\{V_a|a\in {\mathbb R}\}\subset \mathcal{B}$
は非可算個の集合からなるから、$\mathcal{B}$ は非可算開基
である。
よって、任意の開基は非可算集合からなるので、
ゾルゲンフライ直線は第2可算公理を満たしません。

ゾルゲンフライ直線は、第1可算公理を満足するが、
可分性と第2可算公理の同値性が成り立たちません。

特にゾルゲンフライ直線は距離空間ではないことになります。

以前、ゾルゲンフライ直線や平面についてまとめたことが
あったので、位相的性質をさらに詳しく知りたい場合はこちら
をご覧ください。