[場所1E202(月曜日4限)]
HPに行く
最終回は
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- 連結性
連結
とりあえず定義をしておきます。
定義(連結)
位相空間 (X,\mathcal{O}) が連結であるとは、
2つの空でない開集合 U_1,U_2 によって、X=U_1\cup U_2 かつ U_1\cap U_2=\emptyset
のように X を覆う被覆が存在しないことをいう。
連結性は開集合の非存在を使って定義されています。
なので、連結性をしますのに存在しないことを言うのに
背理法を使って、「もし連結でなかったら」という仮定をおいて、
何か矛盾を引き出して、連結と結論づけることが多いです。
非連結とは、そのような空ではない開集合が存在するときをいいます。
もし、X が非連結なら、U_1,U_2 が両方開集合なので、U_1,U_2 は閉集合にも
なっており、つまり、U_1,U_2 は開かつ閉となります。
開かつ閉の集合のことをclopenと言ったりします。
つまり、連結であるとは、X にclopenな空ではない部分集合が存在すると、
それは、X 自身になるといってもよいです。
また、A\subset X が連結部分集合であるとは、A に入る相対位相に関して、
(A,\mathcal{O}_X|_A) が連結であるという定義です。
書き直せば、
A\subset X が連結部分集合であるとは、
X の開集合 U_1,U_2 で、A\subset U_1\cup U_2 かつ、A\cap (U_1\cap U_2)=\emptyset
かつ、A\cap U_1\neq \emptyset かつ A\cap U_2=\emptyset を満たす
ような、U_1,u_2 は存在しない
となります。
例えば、{\mathbb R} は連結ですが、(0,1)\cup (1,2) は連結ではありません。
証明
{\mathbb R} が連結でないとすると、
空ではない U_1,U_2 が開集合で、{\mathbb R}=U_1\cup U_2 かつ、U_1\cap U_2=\emptyset となるようなものが存在します。
U_1\neq\emptyset かつ U_2\neq \emptyset となります。
いま、x_i\in U_i とします。x_1<x_2 が成り立つとして構いません。
ここで、(-\infty ,x_2]\cap U_1 は空集合ではないので、\sup((-\infty ,x_2]\cap U_1) が
存在し、それを、y とおきましょう。
(-\infty ,x_2]\cap U_1 は閉集合なので、y\in U_1 が成り立ちます。
一方、[y,x_2]\cap U_2 は閉集合で、x_2 を含むので、空ではありません。
よって、任意の正の\epsilon>0 に対して、[y,y+\epsilon)\cap U_2\neq \emptyset なので、
y\in \bar{U}_2 であり、U_2 は閉集合でもあったので、y\in U_2 となります。
よって、y\in U_1\cap U_2 となるので、U_1\cap U_2=\emptyset であることに反します。
よって、{\mathbb R} が連結であることになります。
X=(0,1)\cup (1,2)とすると、U_1=(0,1),U_2=(1,2) とすると、
確かに、U_i は空ではない開集合になっており、X=U_1\cup U_2 かつ、U_1\cap U_2=\emptyset
を満たしています。
連結な空間の連続像が連結であることなどは、定義に戻ってやればできます。
連結性の別のヴァリエーションをしておきます。
定義(弧状連結)
X が弧状連結であるとは、
\forall p,q\in X に対して、連続写像 f:[0,1]\to X が存在して、f(0)=p かつ f(1)=q
となることを言います。
つまり、任意の2点が [0,1] 閉区間によるパスによって結ぶことができる
ときをいいます。なんとなく繋がっている直感にあう定義ですね。
しかし、弧状連結と連結は違う概念です。
弧状連結であれば、連結ですが、逆は一般には言えません。
その有名なものは、トポロジストのサインカーブというやつで、
X=\{(x,\sin\frac{1}{x})|0<x\le 1\}\cup\{(0,y)|-1\le y\le 1\}
として、X に {\mathbb R}^2 の相対位相を入れておきます。
実際描いてみると、x=0 の付近で激しく振動しています。
この位相空間は連結ですが、(0,0) と(1,\sin (1)) をパスで結ぶことはできません。
また、x\in X を含む連結な部分集合の最大のものを x の連結成分といい、
C(x) と表します。C(x) は一般に閉集合なのですが、それを示すのに、
A が連結な部分集合なら、\bar{A} および、A\subset B\subset \bar{A} となる
任意の部分集合 B が連結であることを示すことができます。
これは、課題15-3にヒントを載せましたのでそれに沿って証明してみてください。
最後に、{\mathbb R}\setminus {\mathbb Q} が連結でないことと、
{\mathbb R}^2\setminus {\mathbb Q}^2 が連結であることを定義に沿って導いてください。
後者は弧状連結性を示せば十分ですね。