微積分I演習(第1回)

[場所1E101（水曜日4限）]

配布プリント

HPに行く．

今日は

• 論理記号
• 集合の書き方

について演習を行いました．

まだ微積分の講義が始まっていないので、記号などの紹介で終わりました．

来週からは、関数などでてくる予定です．

宿題を出しましたので解いて、来週までに出してください．

論理記号

論理記号について最初に紹介をしました．

$\forall$ と

$\exists$

です．この2つは、数学では必ず出てきます．

意味は、「任意の・・・」と「ある・・・が存在して〜」

となります．

英語で言えば、 For all .... と There exists....

ということです．「ある・・・が存在して〜」というのは日本語として少し不器用な感じがするのは、英語をそのまま順番通りに訳したからです．なめらかな日本語にする場合は、

「〜となる・・・が存在する．」となります．

論理を使って数学について書く場合は、英語式ですので、存在するものを最初に持ってきます．なので、

$\exists x$ に対して、$x^2=m$ を満たす．

となります．

これをなめらかな日本語に直せば、「$x^2=m$ を満たす $x$ が存在する」

となります．

任意の偶数に対してという場合には、

$\forall n\in 2{\mathbb Z}$ と書くことができます．

今日は $\forall n\in$偶数 のように書いている人もいましたが、これもぎりぎりセーフでしょうか．

さらに条件が細かい場合、
任意の 7 で割って 2余る偶数に対して、

と言いたい場合はそのまま地の文のまま書くか、
$S=\{n\in2{\mathbb Z}|\exists m, n=7m+2\}$
として、$\forall n\in S$ とかくかです．

最初は慣れないかもしれませんが、使っていく中で覚えていきましょう．

例題などは、授業中で紹介した通りです．

集合の書き方

集合は、授業中示した通り、2通りあって、要素（元のこと）を書き並べる

$$\{a,b,c,d,.....,u,v,w,x,y,z\}$$

のように要素を全て列挙する方法と、

$$\{x\in X|\text{$x$ の満たす条件}\}$$

のように書く方法と２通りあります．縦棒の右側に満たすべき条件を書いて下さい．

左もある意味条件ですが、属している集合をざっくりと指定しています．

要素の数が有限個しかない場合は、１つ目のようにすることができますが、

そうでない場合は、2つ目の方法を取るしかありません．

例えば、例題にあったように、

2 次方程式 $x^2+ax+b=0$ が異なる 2 つの正の実数解をもつための $(a,b)$ の満たす集合. 

の場合、もちろん $(a,b)$ の取りうる点 $(a,b)$ の数は無限個ありますから、

$\{(a,b)\in {\mathbb R}^2|.....\}$

となるわけです．ここで、${\mathbb R}^2$ の意味は授業中述べた通りで、実数の2つのペアの集合のことです．つまり、平面と同一視されます．よく慣れ親しんだ$xy$-平面と思ってよいです．

縦棒の後に満たすべき条件を書きます．正の実数解を持つのだから、
判別式が正の数で、$y$切片が正、軸が正となるのだから、
$$\{(a,b)\in {\mathbb R}^2|a^2-4b>0,a<0,b>0\}$$
となります．集合の書き方としては、
$$\{(a,b)|a,b\in {\mathbb R},a^2-4b>0,a<0,b>0\}$$

と書いても大丈夫です．普通の丸括弧で元をくくって並べると、慣例としてその元たちの組みとした集合を表すからです．

また、

授業中に言ったように、条件式を書き並べる場合、$\cap$ を書く必要はありません．単なるコンマで大丈夫です．

$m$ の倍数の集合 $I_m$ を集合として表す場合、

$I_m=\{n\in{\mathbb Z}|\exists k\in {\mathbb Z}, n=km\}$

とかいてもよいですが、単に条件式を書き並べるという意味では、

$I_m=\{n\in{\mathbb Z}|k\in {\mathbb Z}, n=km\}$

もしくは

$I_m=\{n\in{\mathbb Z}|n=km, k\in {\mathbb Z}\}$

などと書いても大丈夫です．

また、高校で、$\bmod$ を習っているということなので、それを使っても大丈夫です．

今日解いてくれた人は

$$I_m=\{n\in {\mathbb Z}|n\equiv 0(\bmod m)\}$$

のように書いてくれましたね．

 今日あまり、言いませんでしたが、イコール $=$ は集合として等しい場合ににのみ用いてください．例えば、

$(a,b,c)={\mathbb R}^3$ とは書きません．

かならず、$(a,b,c)\in {\mathbb R}^3$ と書いてください．

元であること・部分集合であること

ある $T$ が集合 $S$ の元であること．

ある集合 $T$ が集合 $T$ の部分集合であることは異なることです．

両者はそれぞれ、

$T\in S$ と

$T\subset S$ と書き、数学をやる上では明確に区別しています．混同しないようにしましょう．

数学が進んでくると混同しやすくなります．

$I_m$ を$m$ の倍数の全体の集合とします．

${\mathbb Z}$ の中で、$I_3$ は、$I_m\subset {\mathbb Z}$ ですが、

$3$ は、$3\in {\mathbb Z}$ です．$3$ は $I_3$ の元でもありますから、$3\in I_3$ と書くことができます．

$I_5\in {\mathbb Z}$ のようには書かないようにお願いします．

$I_3\cap I_2$ は一つの集合を表します．

つまり、

$I_3\cap I_2=\{n\in{\mathbb Z}|n\equiv 0\bmod 3, n\equiv0\bmod 2\}$

となり、証明は必要（今日の宿題）ですが、

これは、$\{n\in{\mathbb Z}|n\equiv 0\bmod 6\}$

となります．

宿題1-2の証明は、集合のイコールの示し方を思い出してください．

$A=B$ であることを示すには、$A\subset B$ かつ、$B\subset A$ を満たすことを示せばよいのです．

宿題1-1(1)の問題は、$a$ の符号に気をつけて場合分けしてみて下さい．