線形代数続論演習(第1回)

[場所1E103（金曜日3限）]

配布プリント

HPに行く．


今日から線形代数続論と続論演習が始まりました．
この授業では、線形代数IIの復習をしながら、ジョルダン標準形というものを
学習する授業です．

授業の最初にも言いましたが、この授業は、

• 連立一次方程式の解法
• ベクトル空間の定義
• 固有値、固有ベクトル

は知識として仮定されています．

去年度の反省を生かして、今回は発表する時間を多く設けようと思っています．
説明とその演習だけで終わってしまう回もあるかと思いますので、その時は直前におしらせします．しばらく復習が続きそうですので、来週もこのままの状態のまま進みます．

今日は、線形代数の復習として、

• 連立一次方程式の解き方（一般のベクトル空間の場合も含めて）
• いくつか言葉の定義．

など行いました．今回の演習の宿題は基本的には、無説明でできるものばかり（復習ということ）です．

連立一次方程式の解法

連立一次方程式が解けないと話にならないので、まずこれから話をしました．

増岡先生の講義では、ジョルダン標準形による正方行列の分類、ベクトルの一次結合の書き方などを教わったようですね．

では、連立一次方程式の解き方をここで復習します．

数ベクトル空間の場合

連立一次方程式は、通常、

$$\begin{cases}2x_1+x_2-x_3=0\\x_1+x_2+x_3\end{cases}$$

のように書かれています．一般には、行列 $A$ に対して、$A{\bf x}=0$ のように書かれます．授業中では、結構単純な形をしてしまったので、ここでは少し複雑にしました．

よって、このとき、行列を使って書くと、

$$A=\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0$$

のように書かれます．この $2\times 3$ 行列の基本変形をします．

$\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&1&1\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}0&-1&-3\\1&1&1\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&3\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1&0&-2\\0&1&3\end{pmatrix}$

のようになります．ここで、最後の行列の列のうち、$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ や $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ に分けて考えます．

前者(1つ目と2つ目)は、${\mathbb R}^2$ の標準基底の形で、後者(3つ目)はそれらの一次結合の形をしています．この標準基底の数は行列のランクといいます．

$\text{rank}(A)$ と書きます．$A$ は考えている行列のことです．

このとき、方程式を

$$\begin{cases}x_1=2x_3\\x_2=-3x_3\end{cases}$$

のように整えると、$x_3$ が独立変数で、$x_1,x_2$ が従属変数であることが分かります．

つまり、解の自由度は、独立変数の数なので、$3-\text{rank}(A)$ ということになります．

一般には、変数が $n$ 個あれば、 

$$n-\text{rank}{A}$$

が解の自由度ということになります．

このランクが線形代数（行列）における最重要概念（増岡先生の言葉通り）です．

解法に戻れば、解の自由度に適当なパラメータを置くことで、

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=c\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$

のようになります．よって、生成系の形で書けば、

$\{{\bf x}\in {\mathbb R}^3|A{\bf x}={\bf 0}\}=\left\langle \begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\right\rangle$

とかくことができます．

ベクトル空間の場合

授業中にやった問題A-1-4は、前年度の線形代数II演習の定期テストでの問題で、意外にも解けなかった問題（正答率５０パーセント程）です．授業中でも詳しくやりました．

そのとき書いたブログがありますので、コチラの中の問題15-3をみてください．

${\mathbb R}[x]_2$ の基底 $1,x,x^2$ を使って、

$f(x)=ax^2+bx+c$

と書いておきます．

このとき、方程式 $f(x)-f(1-x)=0$ を書き下すと、

$2(a+b)x-a-b=0$ となります．

このとき、方程式と思って、$x$ の値を求めるのではなく、

このイコール $=$ は多項式として等しいというイコールと考えてください．

つまり、ベクトル空間のベクトルが等しいというイコールです．

数ベクトル空間では、$(0,2(a+b),-a-b)=(0,0,0)$ とおなじことです．

よって、各係数が等しいことになり、$2(a+b)=0$ かつ $a+b=0$ が成り立ちます．

つまり、この $f(x)-f(1-x)=0$ の連立一次方程式は

$$a+b=0$$

となります．

よって、係数行列は、

$$\begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}$$

となり、これはすでに簡約化されており、

上のように整理すると、

$$a=-b$$

となります．

変数は $a,b,c$ の3つあり、解の自由度は、 $3-\text{rank}(A)=2$ となります．

$b,c$ が独立に動ける変数となり、それらを $c_1,c_2$ とすることで、

$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=c_1\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$

となり、基底 $x^2,x,1$ を戻すと、

$$\left\langle(x^2,x,1)\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix},(x^2,x,1)\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right \rangle=\langle -x^2+x,1\rangle$$

となります．

これは、$\langle x^2-x,1\rangle$ とかいても同じです．

$\langle -x^2+x,1\rangle=\langle x^2-x,1\rangle$ ですので、答えはどちらでも構いません．

(別解)

また、別解として、$F:{\mathbb R}[x]_2\to {\mathbb R}[x]_2$ なる線形写像を

$F(f(x))=f(x)-f(1-x)$ として定義したとき、$\text{Ker}{F}$ を考えればよいことになります．

この線形写像の表現行列を求める．

$F(1)=0$, $F(x)=x-(1-x)=2x-1$, $F(x^2)=x^2-(1-x)^2=2x-1$

となるので、

$$(F(x^2),F(x),F(1))=(x^2,x,1)\begin{pmatrix}0&0&0\\2&2&0\\-1&-1&0\end{pmatrix}$$

この表現行列を簡約化する．そうすると、

$\begin{pmatrix}0&0&0\\2&2&0\\-1&-1&0\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$

よって、

$\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

となる方程式を解くことになり、同じように、$a=-b$ が得られる．

あとは、上に書いたようになる．

宿題でも同じような問題を作りましたので、どちらのやり方でも良いので、

同じようにやってください．

今回の宿題について

(1-1)

は巾零行列の固有多項式を求める問題ですが、固有多項式の解はすべて固有値ですから、

問題は、巾零行列の固有値がすべて 0 であることを示せば良いことになります．

(1-2)

上でやったようなやり方をしてください．

(1-3)

(1) は帰納法を使うかしてください．

(2) は基底であるための必要十分条件は同じプリントの（まとめ）の1-2をよく読んで適用してください．