オーダーと級数の収束判定

ある数列 $a_n$ の級数
$$\sum_{n=1}^\infty a_n$$
の収束はその数列のオーダーを計算することで分かることがあります．
オーダーについては、コチラ（ラージオー）、とコチラ（スモールオー）

よく知られた判定条件（ダランベールの方法、コーシーの方法、ガウスの方法）
で分かる場合はそれを使えばよいですが、それもうまくいかないときはこの
方法を用います．

まず、収束のためには、$a_n\to 0\ \ (n\to \infty)$ が成り立つことが必要ですから、

$a_n=O(f(n))$ となったとき、 $f(n)\to 0\ \ (n\to \infty)$ が必要です．

このとき、ある有界な実数 $C$ が存在して十分大きい任意の $n$ に対して、
$|\frac{a_n}{f(n)}|<C$ が成り立ちます．

よって、 $|a_n|<C|f(n)|$ より、

$$\sum_{n\ge N}^\infty |a_n|<C\sum_{n\ge N}^\infty |f(n)|$$

となります．

ここで、次の仮定をおきます。

$|f(n)|$ が収束する級数である．

そうすると、

$\sum_{n\ge N}^\infty |f(n)|<\infty$
がなりたち、

結果、
$\sum_{n\ge N}^\infty |a_n|<\infty$ が成り立つことになります．
よって、有限個付け加えたもとの級数

$$\sum_{n=1}^\infty a_n$$

も収束することがわかります．


例えば、
$a_n=\frac{1}{n^2+n+1}$ の級数の収束性をみると、

$f(n)=\frac{1}{n^2}$ として、
$\frac{a_n}{f(n)}=\frac{n^2}{1+n+n^2}\to 1$ となり

$\frac{1}{n^2+n+1}=O(1/n^2)$ が成り立ちます．

つまり、
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n+n^2}$$
が収束することが分かります．

まとめると、級数 $\sum a_n$ の収束のためには数列の各項 $a_n$ が、
その級数が収束するような数列 $f(n)$ のオーダーをもてばよい．つまり、
$$a_n=O(f(n))$$
となることです．

もう少し複雑な例を コチラ にあげました．