今日は素数を数えていこうと思います．
この文章を読んでいる人は九九は覚えていることが前提です．
目的は数を見たときに、大きな数でも素数かどうか判定する感覚を養うためです．
ここでは、ある数が素数であるという感覚のことを素数感ということにします．
素数かどうかと言われた時、人は頭の中で必死にエラトステネスの篩を行っているわけですが、
小さい数であれば直接素数の感覚を広げていくことも大事です．
これも鍛え方（記憶力かもしれませんが）によっては如何様にも進歩すると思います．
いずれは4ケタくらいの数ならすぐに素数かどうかわかるようになれると思います．
因みに、今の私はせいぜい2けた位の素数感しかありません．
今日は2けたの素数感について復習したいと思います．
2けたの数を見た時の手順
偶数→素数でない．（ただし２は例外）
18,24とか
奇数→2けたの数を足して3で割れる→素数ではない．
27,87とか
奇数で2けたの数を足して3で割れなく、下ひとけたが5である→素数ではない．
35,95とか
奇数で2けたの数を足して3で割れなく、下ひとけたが5でなく九九に登場する
→素数でない
49（一つだけ）
奇数で2けたの数を足して3で割れなく、下ひとけたが5でなく九九に登場しない
ぞろ目である
→素数でない．
77（一つだけ）
これで2けたは完璧かと思うかもしれませんが、奇数で2けたの数を足して3で割れなく、下ひとけたが5でなく、九九に登場せず、ぞろ目でもない数があります．91です．
$7\times 13$ と分解します．
2けたの合成数として注意すべき数はこれだけかもしれませんね．
49,77,91は素数かどうか判定するときに結構曲者であることがわかりました．
この3つは例外と覚えましょう．7で割れるかどうかは難しいということですね．
よって、12以上の2けたの数を見た時、奇数で2けたの数を足して3で割れなく、
下ひとけたが5でない、49,77,91以外の数は13以上の素数ということになります．
素数は必ず $4a+1$ か $4a-1$ のどちらかの形です．（$a$ はある整数）
また、有名事実として$4a+1$ の形の素数は2つの平方数の和として一意的に書けます．
例えば、13=4+9 などです．そうではない素数は平方数の和として書けません．
双子素数とは11,13のように差が2の素数同士のことをいいます．
a を正の整数として、
10a 以上で 10a+10 より小さい数（つまり、1の位のみ異なる）のうち素数となりうるのは
10a+1,10a+3,10a+7,10a+9
ですが、これが全て素数となることも珍しいですがあります．
つまり、双子が2組一番近い配置で並んでいます．
このような並びは2けたでは 11,13,17,19 だけです．
次に来るのは101,103,107,109 です．
このような素数配置を４つ子素数といいます．
双子同士の並び方は他にも、
10a+7,10a+9,10a+11,10a+13
もありそうですが、 このような数は、どれかはいつでも3の倍数ですのでこのような並びの双子同士はいません．
10a+5, 10a+7, 10a+11, 10a+13
となる双子同士は最初が5の倍数なのでa=0 の時以外はいません．
エマープとは1の位と10の位を逆さにした数も素数になっている素数のことを言います．（例：31,13など）
由来は素数 prime のつづりを逆さ (emirp) にしたものです．
回文素数とは、文字通り131のように逆さに読んでも同じ素数のことです．
これらの素数は現代数学においてさほど重要なファクターではありませんが、素数愛好家としては面白い題材かもしれません．また、素数を覚えたいとすると、このような性質を同時に覚えていくことは結構便利です．
11までの数（2以上）の素数感は十分に養われているとします．
2,3,5,7,11が素数で、それ以外は素数ではありません．
2けたの素数を見ていきましょう
11
ぞろ目で唯一の素数．2けたで唯一の回文素数です．偶数けたでは唯一の回文素数です．次の13とペアで双子素数となります．素数番目（5番目）の素数．
13
11とペアで双子素数．逆にした31も素数です．2つの平方数の和．3つの平方数の和．
17
次の19と双子となります．エマープ素数でもあります．2つの平方数の和．3つの平方数の和．素数番目（7番目）の素数．
19
10代の数の最後の素数．17と双子です．3つの平方数の和．
23
次の素数までの差が初めて6離れました．
29
次の31と双子となります．2つの平方数の和．3つの平方数の和．
31
29と双子です．カレンダーでおなじみのこの数は素数ですね．素数番目（11番目）の素数
37
30代で2個目の素数．2つの平方数の和．最小の非正則素数として、フェルマーの最終定理においてはクンマーに忌み嫌われた？
41
次の43と双子となります．2つの平方数の和．3つの平方数の和．素数番目(13番目)の素数
43
41と双子です．3つの平方数の和．
47
これはなんとなく見るからに素数と分かります．この辺は九九の答えに登場するかどうかで大体判断ができます．
53
これも素数ですが、一瞬なんだか割れそうな気がしてきますね．素数感がこの数で既に養われていないということでしょうか．隣の素数までそれぞれ6離れています．3つの平方数の和．
59
次の61と双子となります．3つの平方数の和．素数として忘れがちですがこれも素数です。合成数のお化けのような次の60の前触れの感じでしょうか？非正則素数．素数番目（17番目）の素数．
61
59と双子となります．2つの平方数の和．3つの平方数の和．一個前の60がいろんな数で割れたのでその反動でしょうか？いじけてすぐに素数になりました．次の素数まで6離れています．
67
なんとなく素数っぽいのは分かります．3つの平方数の和．非正則素数．23と同様1の位と10の位の数が隣り合っている素数．素数番目（19番目）の素数．
71
次の73と双子となります．この数はあまりなじみが有りませんが、素数です．逆にした17も素数なので、エマープです．
73
71と双子となります．2つの平方数の和．3つの平方数の和．37とエマープですね．次の素数まで6離れています．
79
97とエマープになっている．
83
ひと桁目が3の最後の2けた素数．次の素数まで6離れています．3つの平方数の和．素数番目（23番目）の素数．
89
2つの平方数の和、3つの平方数の和．いかにも何かで割れそうな雰囲気が漂いますが、ちょっとした勘違いです．
素数同士の差として2けたの中で最大の8離れています．2つ前の87と比べてどちらが素数か一瞬迷いがちです．
97
90代で唯一の素数．2けたで最大の素数．79とエマープになっている．2つの平方数の和．3つの平方数の和．
全体を通して
この21個を1の位毎に見てみると、
1の位が1の素数（5つ）
11,31,41,61,71
10の位は1,3,4,6,7
1の位が3の素数（6つ）
13,23, 43,53,73, 83
（10の位はよく見ると、4,5を境に対称的になっています．1,2,4,5,7,8）
1の位が7の素数（5つ）
17,37,47,67,97
10の位は1,3,4,6,9．対称的ではありませんが、1+9=10,3+6=9,4+4=8
1の位が9の素数（5つ）
19,29,59,79,89
（59を除いて対称的です．19+89=108, 29+79=108）
となり、ほとんどばらつきはありません．若干ですが1の位の数が3の素数が多いことになります．
10ずつ並べると、
11,13,17,19,
23,29
31,37
41,43
53,57,59
61,67,
71,73,79,
83,89,
97
とだんだんと減っていきます．
隣り合うかず2つで2けたの数を作る時、素数になるのは23,67だけですが、
増える順番だけで、減る順番で素数になるものはありませんでした．
その他
※素数は忌み嫌う対象ではないと思いますが、
13は縁起が悪いといわれることもあります．
素数19は神社では女子の厄年（本厄の年）となります．また、37（本厄）も素数です．
女子の33,34,35もどれも素数ではありませんね．
男子は42が本厄ですが、41,43という双子の素数に囲まれています．
男子の61（本厄）は素数です．
※ちなみに、うちの保育園児の息子は11までの素数感はまだありませんが、２年生の上の息子は、九九を小学校で習ったので2けたの素数感は少しだけあるようです．
この文章を読んでいる人は九九は覚えていることが前提です．
目的は数を見たときに、大きな数でも素数かどうか判定する感覚を養うためです．
ここでは、ある数が素数であるという感覚のことを素数感ということにします．
素数かどうかと言われた時、人は頭の中で必死にエラトステネスの篩を行っているわけですが、
小さい数であれば直接素数の感覚を広げていくことも大事です．
これも鍛え方（記憶力かもしれませんが）によっては如何様にも進歩すると思います．
いずれは4ケタくらいの数ならすぐに素数かどうかわかるようになれると思います．
因みに、今の私はせいぜい2けた位の素数感しかありません．
今日は2けたの素数感について復習したいと思います．
2けたの数を見た時の手順
偶数→素数でない．（ただし２は例外）
18,24とか
奇数→2けたの数を足して3で割れる→素数ではない．
27,87とか
奇数で2けたの数を足して3で割れなく、下ひとけたが5である→素数ではない．
35,95とか
奇数で2けたの数を足して3で割れなく、下ひとけたが5でなく九九に登場する
→素数でない
49（一つだけ）
奇数で2けたの数を足して3で割れなく、下ひとけたが5でなく九九に登場しない
ぞろ目である
→素数でない．
77（一つだけ）
これで2けたは完璧かと思うかもしれませんが、奇数で2けたの数を足して3で割れなく、下ひとけたが5でなく、九九に登場せず、ぞろ目でもない数があります．91です．
$7\times 13$ と分解します．
2けたの合成数として注意すべき数はこれだけかもしれませんね．
49,77,91は素数かどうか判定するときに結構曲者であることがわかりました．
この3つは例外と覚えましょう．7で割れるかどうかは難しいということですね．
よって、12以上の2けたの数を見た時、奇数で2けたの数を足して3で割れなく、
下ひとけたが5でない、49,77,91以外の数は13以上の素数ということになります．
素数は必ず $4a+1$ か $4a-1$ のどちらかの形です．（$a$ はある整数）
また、有名事実として$4a+1$ の形の素数は2つの平方数の和として一意的に書けます．
例えば、13=4+9 などです．そうではない素数は平方数の和として書けません．
双子素数とは11,13のように差が2の素数同士のことをいいます．
a を正の整数として、
10a 以上で 10a+10 より小さい数（つまり、1の位のみ異なる）のうち素数となりうるのは
10a+1,10a+3,10a+7,10a+9
ですが、これが全て素数となることも珍しいですがあります．
つまり、双子が2組一番近い配置で並んでいます．
このような並びは2けたでは 11,13,17,19 だけです．
次に来るのは101,103,107,109 です．
このような素数配置を４つ子素数といいます．
双子同士の並び方は他にも、
10a+7,10a+9,10a+11,10a+13
もありそうですが、 このような数は、どれかはいつでも3の倍数ですのでこのような並びの双子同士はいません．
10a+5, 10a+7, 10a+11, 10a+13
となる双子同士は最初が5の倍数なのでa=0 の時以外はいません．
エマープとは1の位と10の位を逆さにした数も素数になっている素数のことを言います．（例：31,13など）
由来は素数 prime のつづりを逆さ (emirp) にしたものです．
回文素数とは、文字通り131のように逆さに読んでも同じ素数のことです．
これらの素数は現代数学においてさほど重要なファクターではありませんが、素数愛好家としては面白い題材かもしれません．また、素数を覚えたいとすると、このような性質を同時に覚えていくことは結構便利です．
11までの数（2以上）の素数感は十分に養われているとします．
2,3,5,7,11が素数で、それ以外は素数ではありません．
2けたの素数を見ていきましょう
11
ぞろ目で唯一の素数．2けたで唯一の回文素数です．偶数けたでは唯一の回文素数です．次の13とペアで双子素数となります．素数番目（5番目）の素数．
13
11とペアで双子素数．逆にした31も素数です．2つの平方数の和．3つの平方数の和．
17
次の19と双子となります．エマープ素数でもあります．2つの平方数の和．3つの平方数の和．素数番目（7番目）の素数．
19
10代の数の最後の素数．17と双子です．3つの平方数の和．
23
次の素数までの差が初めて6離れました．
29
次の31と双子となります．2つの平方数の和．3つの平方数の和．
31
29と双子です．カレンダーでおなじみのこの数は素数ですね．素数番目（11番目）の素数
37
30代で2個目の素数．2つの平方数の和．最小の非正則素数として、フェルマーの最終定理においてはクンマーに忌み嫌われた？
41
次の43と双子となります．2つの平方数の和．3つの平方数の和．素数番目(13番目)の素数
43
41と双子です．3つの平方数の和．
47
これはなんとなく見るからに素数と分かります．この辺は九九の答えに登場するかどうかで大体判断ができます．
53
これも素数ですが、一瞬なんだか割れそうな気がしてきますね．素数感がこの数で既に養われていないということでしょうか．隣の素数までそれぞれ6離れています．3つの平方数の和．
59
次の61と双子となります．3つの平方数の和．素数として忘れがちですがこれも素数です。合成数のお化けのような次の60の前触れの感じでしょうか？非正則素数．素数番目（17番目）の素数．
61
59と双子となります．2つの平方数の和．3つの平方数の和．一個前の60がいろんな数で割れたのでその反動でしょうか？いじけてすぐに素数になりました．次の素数まで6離れています．
67
なんとなく素数っぽいのは分かります．3つの平方数の和．非正則素数．23と同様1の位と10の位の数が隣り合っている素数．素数番目（19番目）の素数．
71
次の73と双子となります．この数はあまりなじみが有りませんが、素数です．逆にした17も素数なので、エマープです．
73
71と双子となります．2つの平方数の和．3つの平方数の和．37とエマープですね．次の素数まで6離れています．
79
97とエマープになっている．
83
ひと桁目が3の最後の2けた素数．次の素数まで6離れています．3つの平方数の和．素数番目（23番目）の素数．
89
2つの平方数の和、3つの平方数の和．いかにも何かで割れそうな雰囲気が漂いますが、ちょっとした勘違いです．
素数同士の差として2けたの中で最大の8離れています．2つ前の87と比べてどちらが素数か一瞬迷いがちです．
97
90代で唯一の素数．2けたで最大の素数．79とエマープになっている．2つの平方数の和．3つの平方数の和．
全体を通して
この21個を1の位毎に見てみると、
1の位が1の素数（5つ）
11,31,41,61,71
10の位は1,3,4,6,7
1の位が3の素数（6つ）
13,23, 43,53,73, 83
（10の位はよく見ると、4,5を境に対称的になっています．1,2,4,5,7,8）
1の位が7の素数（5つ）
17,37,47,67,97
10の位は1,3,4,6,9．対称的ではありませんが、1+9=10,3+6=9,4+4=8
1の位が9の素数（5つ）
19,29,59,79,89
（59を除いて対称的です．19+89=108, 29+79=108）
となり、ほとんどばらつきはありません．若干ですが1の位の数が3の素数が多いことになります．
10ずつ並べると、
11,13,17,19,
23,29
31,37
41,43
53,57,59
61,67,
71,73,79,
83,89,
97
とだんだんと減っていきます．
隣り合うかず2つで2けたの数を作る時、素数になるのは23,67だけですが、
増える順番だけで、減る順番で素数になるものはありませんでした．
その他
※素数は忌み嫌う対象ではないと思いますが、
13は縁起が悪いといわれることもあります．
素数19は神社では女子の厄年（本厄の年）となります．また、37（本厄）も素数です．
女子の33,34,35もどれも素数ではありませんね．
男子は42が本厄ですが、41,43という双子の素数に囲まれています．
男子の61（本厄）は素数です．
※ちなみに、うちの保育園児の息子は11までの素数感はまだありませんが、２年生の上の息子は、九九を小学校で習ったので2けたの素数感は少しだけあるようです．
≪…小さい数であれば直接素数の感覚を広げていくことも大事…≫から、こんな記事をみつける。
返信削除≪…双子素数…≫は、小さい方の素数に素数［3］を足して、［1］を引くと大きい方の素数になる。
これを拡張して、
［ある既素数］＋［ある既素数］ -［1］
＝［進み行く素数］
と生る予想があるとか・・・
たとえば、
［3］＋［3］ -［1］＝［5］
［3］＋［5］ -［1］＝［7］
［5］＋［7］ -［1］＝［11］
［3］＋［11］ -［1］＝［13］
これは、≪…Eratosthenesの篩…≫を、『幻のマスキングテープ』で眺めると［2］の素数の［黄泉帰り］が顕れるとか・・・
これによって、素数［89］で観ると、
［7］と［83］ ［11］と［79］ ［19］と［71］
［23］と［67］ ［29］と［61］ ［31］と［59］
［37］と［53］
となる・・・