今日は100から199までの素数を数えます．
このあたりの素数感は私にとっては未知の領域です．
とりあえず素数感を養うためには武器（判定条件）が必要となるので
素数を数えると同時にこれらもそろえていきます．
7の倍数の判定法
3桁の数の素数感を養うために、前回やらなった7の判定法をちゃんと書いておきます．
3桁の場合の7の倍数の判定法は、
ちなみに、この 7 の倍数の判定事実は21が7の倍数であることを使っています．
11の倍数の判定法
これも11の筆算をやったことがある人はよく知っているかと思います．
101から199までの素数
101から199までの素数（21個）を並べてみます．若干ですがまばらになってきました．
印象として最初と最後が詰まっていますが、真ん中は結構スカスカです．
しかし双子も7組います．100までは8組．
また、これらの素数の特徴としては、回文素数が目につくことでしょうか？5個登場します．
300代では4個、700代では4個、900代では2個です．
エマープに関しては12個
しかし700代のエマープの多さは少し異常かもしれません．同じく12個あります．
100までの素数を覚えた人は、その後の素数にもその感覚を引きずってしまいますので覚えるときに注意が必要です．
※以下のコメントは、個人の数に対する感想に基づくものですので一般的なものではありません．
だから何？というものも大量に含まれています．（というかほとんどがそうです）
素数を愛でていると考えてください．
101
3桁で最初の素数．回文素数です．この数から2組の双子が一番近い距離で連なります．素数密集地帯突入．100 と 1 で2つの平方数の和．3つの平方数の和．
103
101と双子です．3桁の素数密集地帯2番目．
107
次の109と双子になります．2つの平方数の和．3つの平方数の和．エマープ素数．
109
107と双子．煩悩の数（108）の前後はどちらも素数．2つの平方数の和．3つの平方数の和．
113
エマープ素数．次の素数まで初めて14離れます．密集地帯を越えた反動でしょうか？110代唯一の素数．2つの平方数の和．3つの平方数の和．下2桁入れ替えた数131も素数．
127
27は素数だったのに100後は素数になります．120代唯一の素数．
131
回文素数．31も素数でしたが、相変わらずこちらも素数．3つの平方数の和．下2桁を入れ替えたものも素数．311も素数．
137
次の139と双子．37が素数だったが、こちらも素数．2つの平方数の和．3つの平方数の和．下二桁入れ替えた173も素数．ただし、317は素数だが $371=7\times 53$ は合成数．さらに 731,713もいずれも合成数．どちらも因数が23,31と17,43と割りにくさが高い．
139
137と双子．下2桁が13で割れる素数．次の素数までの間が初めて10離れた．3つの平方数の和．
149
次の151と双子素数．エマープ素数．149と151は双子でエマープとなる（11,13と71,73に引き続き）3つめの例．140代唯一の素数．2つの平方数の和．3つの平方数の和．
151
回文素数．149と双子．
157
エマープ素数．2つの平方数の和．3つの平方数の和．
163
6も3も3で割れるのでどうしても非素数感が強くなってくるが素数．3つの平方数の和．3と1を入れ替えた数361は19の平方．
167
エマープ素数．67から来る見た目の素数感通り素数．
173
同じく73の素数感通り素数．2つの平方数の和．3つの平方数の和．
179
エマープ素数．双子の181とはエマープ同士（4例目）．3つの平方数の和．下2桁入れ替えても素数．ただし、791は非素数．
181
回文素数．103,109,127,181が素数なので3のベキに100を加えた200までの数は全て素数．180代唯一の素数．2つの平方数の和．3つの平方数の和．
191
3回目の素数密集地帯（191,193,197,199）突入．193と双子．回文素数．91の素数感が半端なかったが100後は素数．100に13の奇数倍（ただし5を除く）を足した200までの数113,139,191は素数．
193
191と双子．2つの平方数の和．3つの平方数の和．下二桁入れ替えた139も素数
197
14の2乗の次は素数．2つの平方数の和．3つの平方数の和．下二桁入れ替えても素数．
199
200の大台に登る直前に素数．1,9,9を並び替えたものは全て素数．
一桁目によって分けると相変わらずそれほどばらつきはありません．
101,131,151,181,191,
103,113,163,173,193
107,127,137,157,167,197
109,139,149,179,199
10ずつ並べれば、
101,103,107,109,
113,
127
131,137, 139
149
151,157
163,167
173,179
181
191,193,197,199
偽素数感
119,133,161などは素数感ありますが、上に書いたように、
18-11=7 $119=7\times 17$
13-6=7 $133=7\times 19$
16-2=14 $161=7\times 23$
なので7で割れます．
偽素数感はやはり7の存在と、その相方の 17,19,23 も素数を順調に登っていることに起因しているようです．
117や177は電話番号としてでお馴染みだが3の倍数．疲れているとこれらも素数に見えてくるので注意．
数字の並び替えが素数かどうかについていくつか
1,1,3はどのように並べても素数．
1,3,3は133は合成数ですが、他は素数．
1,3,7は100代の2つはどちらも素数なのに371,731,713はすべて合成数．317は素数．
1,1,9は191と911が素数．
1,3,9は100代はどちらも素数．それ以外の並び替えは全て非素数．
1,7,9は100代の数はどちらも素数．他に素数となるのは上に書いた971と719のみ．
（917が合成数であることは上に書いた．）
1,9,9はどのように並び替えても素数．
3つの平方数の和とそれ以上の数の平方数の和
素数が3つの平方数の和でかけるための必要十分条件は知られていて、その素数が 8k+7 で表せないことです．
それに、自然数が4つの平方数の和で書けることは大昔（少なくとも200年くらい前まで）から知られており、書く方法の数まで知られている．
このあたりの素数感は私にとっては未知の領域です．
とりあえず素数感を養うためには武器（判定条件）が必要となるので
素数を数えると同時にこれらもそろえていきます．
7の倍数の判定法
3桁の数の素数感を養うために、前回やらなった7の判定法をちゃんと書いておきます．
3桁の場合の7の倍数の判定法は、
abc
をその3けたの数とすると、ab と c の2倍の差が 7 の倍数ならこの数 abc も 7 の倍数となります． とくに、ab=2c となっているような時はすぐさま、非素数！と答えることができます．
たとえば、189は3や9でも割れますが、 7 でも割れるとすぐ言えるでしょう．
一般に abc となっていたときに、abと cに共通に割れる数があれば素数ではありません．
当然、このことは3桁だけの例外事実ではありません．他の桁数の数にもいえます．
91 の非素数感さらに7で割れる感があれば、917 はすぐさま素数ではないことがわかるでしょう．
上の7の倍数判定法を使えば、999までにおいて、7 の倍数であることは、2桁の 7 の倍数の話に帰着します．
このような判定法は他の素数の場合も自分でもいくらでも作ることができますね．
これらはいつでも使えるように磨いておきたいものです．11の倍数の判定法
abc
が11の倍数である為の必要十分条件は、a-b+c が11の倍数になっているかどうかです．
なので、253 や891 などの素数感は私にはありません．
他にも 407 や 517 も素数ではありません．11で割れるのです．
桁数ごとに交代和を取って考えれば、4桁以上にも使える判定条件です．
110や11が11の倍数であることを使えばこれらの判定条件は明らかです．
110や11が11の倍数であることを使えばこれらの判定条件は明らかです．
101から199までの素数（21個）を並べてみます．若干ですがまばらになってきました．
印象として最初と最後が詰まっていますが、真ん中は結構スカスカです．
しかし双子も7組います．100までは8組．
また、これらの素数の特徴としては、回文素数が目につくことでしょうか？5個登場します．
101, 131, 151, 181, 191,
もちろん数が大きくなれば回文素数の比率は減っていきます．300代では4個、700代では4個、900代では2個です．
エマープに関しては12個
101, 107, 113, 131, 149, 151, 157, 167, 179, 181, 191
ありますが、それも数が大きくなるごとに減るでしょう．しかし700代のエマープの多さは少し異常かもしれません．同じく12個あります．
100までの素数を覚えた人は、その後の素数にもその感覚を引きずってしまいますので覚えるときに注意が必要です．
※以下のコメントは、個人の数に対する感想に基づくものですので一般的なものではありません．
だから何？というものも大量に含まれています．（というかほとんどがそうです）
素数を愛でていると考えてください．
101
3桁で最初の素数．回文素数です．この数から2組の双子が一番近い距離で連なります．素数密集地帯突入．100 と 1 で2つの平方数の和．3つの平方数の和．
103
101と双子です．3桁の素数密集地帯2番目．
107
次の109と双子になります．2つの平方数の和．3つの平方数の和．エマープ素数．
109
107と双子．煩悩の数（108）の前後はどちらも素数．2つの平方数の和．3つの平方数の和．
113
エマープ素数．次の素数まで初めて14離れます．密集地帯を越えた反動でしょうか？110代唯一の素数．2つの平方数の和．3つの平方数の和．下2桁入れ替えた数131も素数．
127
27は素数だったのに100後は素数になります．120代唯一の素数．
131
回文素数．31も素数でしたが、相変わらずこちらも素数．3つの平方数の和．下2桁を入れ替えたものも素数．311も素数．
137
次の139と双子．37が素数だったが、こちらも素数．2つの平方数の和．3つの平方数の和．下二桁入れ替えた173も素数．ただし、317は素数だが $371=7\times 53$ は合成数．さらに 731,713もいずれも合成数．どちらも因数が23,31と17,43と割りにくさが高い．
139
137と双子．下2桁が13で割れる素数．次の素数までの間が初めて10離れた．3つの平方数の和．
149
次の151と双子素数．エマープ素数．149と151は双子でエマープとなる（11,13と71,73に引き続き）3つめの例．140代唯一の素数．2つの平方数の和．3つの平方数の和．
151
回文素数．149と双子．
157
エマープ素数．2つの平方数の和．3つの平方数の和．
163
6も3も3で割れるのでどうしても非素数感が強くなってくるが素数．3つの平方数の和．3と1を入れ替えた数361は19の平方．
167
エマープ素数．67から来る見た目の素数感通り素数．
173
同じく73の素数感通り素数．2つの平方数の和．3つの平方数の和．
179
エマープ素数．双子の181とはエマープ同士（4例目）．3つの平方数の和．下2桁入れ替えても素数．ただし、791は非素数．
181
回文素数．103,109,127,181が素数なので3のベキに100を加えた200までの数は全て素数．180代唯一の素数．2つの平方数の和．3つの平方数の和．
191
3回目の素数密集地帯（191,193,197,199）突入．193と双子．回文素数．91の素数感が半端なかったが100後は素数．100に13の奇数倍（ただし5を除く）を足した200までの数113,139,191は素数．
193
191と双子．2つの平方数の和．3つの平方数の和．下二桁入れ替えた139も素数
197
14の2乗の次は素数．2つの平方数の和．3つの平方数の和．下二桁入れ替えても素数．
199
200の大台に登る直前に素数．1,9,9を並び替えたものは全て素数．
一桁目によって分けると相変わらずそれほどばらつきはありません．
101,131,151,181,191,
103,113,163,173,193
107,127,137,157,167,197
109,139,149,179,199
10ずつ並べれば、
101,103,107,109,
113,
127
131,137, 139
149
151,157
163,167
173,179
181
191,193,197,199
となりやはり最初と最後が大きくて、真ん中も少し膨らんでいます．
偽素数感
119,133,161などは素数感ありますが、上に書いたように、
18-11=7 $119=7\times 17$
13-6=7 $133=7\times 19$
16-2=14 $161=7\times 23$
なので7で割れます．
偽素数感はやはり7の存在と、その相方の 17,19,23 も素数を順調に登っていることに起因しているようです．
117や177は電話番号としてでお馴染みだが3の倍数．疲れているとこれらも素数に見えてくるので注意．
数字の並び替えが素数かどうかについていくつか
1,1,3はどのように並べても素数．
1,3,3は133は合成数ですが、他は素数．
1,3,7は100代の2つはどちらも素数なのに371,731,713はすべて合成数．317は素数．
1,1,9は191と911が素数．
1,3,9は100代はどちらも素数．それ以外の並び替えは全て非素数．
1,7,9は100代の数はどちらも素数．他に素数となるのは上に書いた971と719のみ．
（917が合成数であることは上に書いた．）
1,9,9はどのように並び替えても素数．
3つの平方数の和とそれ以上の数の平方数の和
素数が3つの平方数の和でかけるための必要十分条件は知られていて、その素数が 8k+7 で表せないことです．
それに、自然数が4つの平方数の和で書けることは大昔（少なくとも200年くらい前まで）から知られており、書く方法の数まで知られている．
0 件のコメント:
コメントを投稿