素数を数えよう(4)

今日は、300から399に存在する素数を数えようと思います．

この間の素数は、双子が２組しかいません．

もちろん4つ子素数もいません．そもそも4つ子素数は821, 823, 827, 829まで待たなければならない．待ち遠しいですね．

また、回文素数は 313, 353, 373, 383

素数のいくつかの組みについてwikipediaに載っているものをまとめておきます．

素数同士の組

双子素数

差が2である2つの素数．

いとこ素数

差が4である2つの素数．

セクシー素数

差が6である2つの素数．

3つ子素数

a, a+2, a+6 または a, a+4, a+6 の形の素数列．つまり、双子素数といとこ素数が連続している場合である．そうすると自動的に最初と最後の関係ははセクシーである．

4つ子素数

a, a+2, a+6, a+8 の間隔の素数4つ組み．

5つ子素数

a, a+4, a+6, a+10, a+12, もしくは
a, a+2, a+6, a+8, a+12
の形の5つの素数組．つまり、4つ子素数の下と上4つ離れたどちらかに素数がある．

6つ子素数
a, a+4, a+6, a+10, a+12, a+16 が全て素数の6つの素数組．
つまり、4つ子素数の下と上4つ離れたどちらにも素数がある場合である．

その他（ソフィージェルマン素数・安全素数）

2p+1 が素数となる素数 p のことをソフィージェルマン素数という．また、p が素数となる素数 2p+1 のことを安全素数という．359は300から399の間の唯一のソフィージェルマン素数．また、359は安全素数でもあるが、347, 383も安全素数．
359までのソフィージェルマンかつ安全な素数は、5, 11, 23, 83, 179．

19の倍数の判定条件
2けたの19の倍数は19, 38, 57, 76, 95 ですので、これは覚えてもらうことにして、3けた以上の場合に19の倍数の判定法を作ります．
3けたの数

abc

が19の倍数であるのは、a の5倍と bc の和が19 であるときです．なので、例として、247 は 19 で割れると一瞬で分かります．こういう判定法を使えば、3けたで 19 で割れる素数感漂う数を言い争う場面では負けなしです．ほかにも 800代では 817 なんてどことなく素数感漂いませんか？しかし57を念頭に 19 で割れるとすぐにわかる合成数です．

13 や 17 の判定法はいつもどこかで引き算していましたが今回は足し算であることが注意です．

23の倍数の判定条件
2けたの23の倍数は23, 46, 65, 92 ですね．これらをまずは頭に叩き込みます．
そして、3桁の数が

abc

であったときに、a の8倍とbc の和が23の倍数であれば、abcも23で割りきれます．

例えば、前回やった 299 などはいかにも素数な感じですが、2,99と分けて、2*8+99=115 さらに、 1,15 とわけて、1*8+15=23 となり、23でわれることが分かります．

207も 2, 07 とわけて 2*8+7=23 となるので 23 で割れますね．

307から397までの素数
307から397までの16個の素数を数えていきます．3つの平方数で書く方法は複数あります．

307

次の素数とはいとこ．また、その次が双子のなので(307, 311, 313) は3つ子．一瞬11の倍数かと思うが、407の間違い．3つの平方数 (1,81,225) の和．他に1つの書き方あり．

311
(311,313) は双子．300代の素数の中で1つ目の双子素数．次の双子は(347,349)．また、(311,313,317) も3つ子．並び替えた131も素数．

313

次の素数とはいとこ．回文素数．並び替えた331も素数．ただし133は素数ではなかった．2つの平方数の和．3つの平方数 (25, 144, 144) の和．他に1つの書き方あり．

317

次の素数とは16離れており、320代の素数は存在しない．今までで最大離れている．2つの平方数の和．3つの平方数 (4, 144, 169) の和．他に1つの書き方あり．

331

次の素数337とはセクシー．3つの平方数 (25, 81,225) の和．他に1つの書き方あり．

337

下2けた 37 は 37, 137 ひ引き続き4回目の登場．237は3の倍数．2つの平方数の和．3つの平方数 (4, 9, 324) の和．他に1つの書き方あり．

347

次の349 とは双子．その次はいとこなので、(374,379,353) は3つ子素数．47は2桁の素数以来の登場．3つの平方数 (9, 49, 289) の和．他に2つの書き方あり．安全素数．

349

前の347とは双子．やはり49に引っ張られて非素数感漂うがれっきとした素数．数字49のつく素数は149以来の登場．2つの平方数の和．3つの平方数 (9, 16, 324) の和．他に2つの書き方あり．

353

回文素数．次の359とはセクシー．3つの平方数 (4, 25, 324) の和．他に3つの書き方あり．

359

ソフィージェルマン素数かつ安全素数．

367

次の373とはセクシー．67,167は素数であり、267（3の倍数）は素数ではなかったが、367は再び素数．67は素数の定番?

373

回文素数．次の素数379とはセクシー．73, 173,に引き続き、373も素数．73も素数の定番数か?
2つの平方数の和．3つの平方数 (4, 144, 225) の和．他に1つの書き方あり．

379

つぎの383とはいとこ．3つの平方数 (9, 9, 361) の和．他に1つの書き方あり．

383

回文素数．安全素数．次の素数389とセクシー．

389

2つの平方数の和．3つの平方数 (16, 49,324) の和．他に4つの書き方あり．

397
3けた最大の素数．

2つの平方数の和．3つの平方数 (9, 64, 324) の和．これが唯一の書き方．


1の位でまとめれば、

311, 331

313, 353, 373, 383
307, 317, 337, 347
367, 397,
349, 359, 379, 389


1の位でまとめた時、いままでそれほどばらつきがなかったが、300代の数はかなりばらつきがあるようです．
10ごとまとめれば、


307
311, 313, 317 

331, 337, 
347, 349,
353, 359,
367,
373, 379,
383, 389,
397,

となり、相変わらずばらつきがある．

318から330までは、
$318=2\times 3\times 53$, $319=11\times 29$,
$320=2^6\times 5$, $321=3\times 107$, $322=2\times 7\times 23$,
$323=17\times 19$, $334=2^2\times 3^4$, $325=5^2\times 13$,
$326=2\times 163$, $327=3\times 109$, $328=2^3\times 41$
$329=7\times 47$, $330=2\times 3\times 5\times 11$
と大きな素数も入っていますが、合成数です．

今回も素数っぽい非素数．
323  23-3*2=17 なので17で割れる．
329  32-9*4=14 なので7で割れる．相手は47．
343  34-3*2=28 なので7で割れる．実は $7^3$
361  $19^2$　気づかなければ、3*5+61=76 より19で割れる．
371 37-1*2=35 なので 7 で割れる．相手は53
377 77-3*4=65 は13で割れるので、377は13の倍数．相手は29．
391 7,13はすぐ割れないことがわかり、17を試してみると、91-2*3=85 となり17で割れる．相手は23なので、一応判定法をつかっておけば、3*8+91=115．1,15とわければ、8+15=23 となり23で割れる．