今回は3回目です。
今回は主に単体複体のホモロジーについて行いました。
HPはこちらになります。
単体複体のホモロジーの前に、単体分割について定義を書いておきます。
定義(位相空間の単体分割)
位相空間 $X$ に対して、ある単体複体 $K$ が存在して、ある
同相写像 $f:|K|\to X$ が存在するとき、$(|K|,f)$ は$X$ の単体分割という。
単体複体(の実現)の位相はユークリッド空間に埋め込まれた
局所的に線形なアフィン空間の和集合として位相が定義されています。
単体複体のホモロジーについて
単体複体のホモロジーの定義の前にチェイン複体の定義をしておきます。
定義(チェイン複体)
アーベル群の列 $\{C_n\}_{n\in {\mathbb Z}}$ と任意の $n$ に対して
準同型写像 $\partial_n:C_n\to C_{n-1}$ が定義されており、
各 $n$ に対して $\partial_{n}\circ \partial_{n+1}=0$を満たすとき、
その対 $(C_n,\partial_n)$ をチェイン複体という。
この $\partial_n$ を境界準同型という。
また、$Z_n(C)=\text{Ker}(\partial_n)$ として定義し、$n$ 次サイクル(もしくは $n$-サイクル)という。
また、$B_n(C)=\text{Im}(\partial_{n+1})$ として定義し、$n$ 次バウンダリ(もしくは$n$-バウンダリ)という。
$Z_n(C)$ も $B_n(C)$ も $C_n$ の部分群であることに注意しておきます。
$\partial_{n}\circ \partial_{n+1}=0$ という条件は、
$\text{Ker}(\partial_{n})\subset \text{Im}(\partial_{n+1})$ が成り立つことと同値になります。
定義(ホモロジー群)
チェイン複体 $(C_n,\partial_n)$ から、商群を
$H_n(C)= \text{Ker}(\partial_{n})/\text{Im}(\partial_{n+1})$
とおき、これをチェイン複体の $n$ 次ホモロジー群といいます。
次に、単体複体 $K$ があったときにチェイン複体を定義します。
それにより、上のチェイン複体からホモロジー群を得る操作を施すことで、
単体複体に対してホモロジーを得ることができます。
これを単体複体のホモロジーといいます。
$K$ を単体複体とし、$C_n(K)$ を $K$ に含まれる $n$単体の集合からなる ${\mathbb Z}$ 自由アーベル群とします。
つまり $n$単体の集合を $S_n=\{\sigma_1,\cdots,\sigma_k\}$ とすると、
$$C_n(K)={\mathbb Z}\sigma_1+\cdots+ {\mathbb Z}\sigma_k$$
となります。
$n$単体の有限集合からなる単なる形式和として考えることもできます。
このことからこの元どうしには関係式がないので、この和は直和にもなります。
ここで、$C_n(K)$ の和は係数をベクトルの足し算の要領で足していくだけです。
言うなれば、$C_n(K)$ の $S_n$ の集合を基底として定義される、係数 ${\mathbb Z}$ を
スカラーとするベクトル空間と考えられます。
実際ベクトル空間は体上ですのでベクトル空間ではないのですが…。
正確にはこちらの記事にもあるように ${\mathbb Z}$ 上の加群である ${\mathbb Z}$ 加群
という言い方をします。
問題は境界準同型写像です。
$\sigma=\langle v_0v_1\cdots v_n\rangle$ とすると、
$$\partial_n \sigma= \sum_{i=0}^n(-1)^i\langle v_0v_1\cdots \widehat{v_i}\cdots v_n\rangle$$
ここでハットの意味は、その項を除いて得られる元を意味します。
このようにして境界準同型 $\partial_n$ が定義されます。
この写像が境界準同型であることを証明するには、$\partial_{n-1}\circ \partial_n=0$を確かめる必要があります。
実際、
$$\partial_{n-1}\circ \partial_n(\sigma)=\partial_{n-1}\sum_{i=0}^n(-1)^i\langle v_0 v_1\cdots \widehat{v_i}\cdots v_n\rangle$$
$$=\sum_{i=0}^{i-1}\sum_{j=0}^{i-1}(-1)^{i+j}\langle v_0v_1\cdots \widehat{v_j}\cdots\widehat{v_i}\cdots v_n\rangle$$
$$+\sum_{i=0}^{i-1}\sum_{j=i+1}^{n}(-1)^{i+j-1}\langle v_0v_1\cdots \widehat{v_i}\cdots\widehat{v_j}\cdots v_n\rangle$$
$$=\sum_{0\le j<i\le n}(-1)^{i+j}\langle v_0v_1\cdots \widehat{v_j}\cdots\widehat{v_i}\cdots v_n\rangle$$
$$+\sum_{0\le i<j\le n}^{n}(-1)^{i+j-1}\langle v_0v_1\cdots \widehat{v_i}\cdots\widehat{v_j}\cdots v_n\rangle=0$$
よって $(C_n(K),\partial_n)$ はチェイン複体であることがわかりました。
このチェイン複体のホモロジーを取ることで単体複体のホモロジー $H_n(K)$ を
定義することができました。
単体の $-1$ 倍と単体の向き
ここで、単体複体 $K$ の頂点の集合に $\{v_0,\cdots, v_m\}$ のように順番がついていると
します。
そうすることで、$K$ の任意の $k$単体は、$\langle v_0\cdots v_m\rangle$ の面にも
なっていますが、この順番を保ったままそのほかの頂点を除くことで表示
$\langle v_{i_0}v_{i_1}\cdots v_{i_k}\rangle$ と書くことができ、$i_0<i_1<\cdots< i_k$
を満たします。しかし、そのほかの並べ方にも $C_k(K)$ の元として拡張することができます。
どうするかというと、$i_0<i_1<\cdots, i_k$ のほかの並べ方として
$j_0,j_1,\cdots, j_k$ を選んだ時、
$$\langle v_{i_0}v_{i_1}\cdots v_{i_k}\rangle=\text{sgn}\begin{pmatrix}i_0&i_1&\cdots&i_k\\j_0&j_1&\cdots& j_k\end{pmatrix}\langle v_{i_0}v_{i_1}\cdots v_{i_k}\rangle$$
のようにすることで、$-1$ 倍、もしくは $1$ 倍することで拡張します。
ここで$\text{sgn}$ はこの置換による符号になります。
ここで符号の意味としてその$k$単体についている向きと考えることができます。
つまり、$\langle v_0v_1\rangle$ は $v_0$ から $v_1$ へ向かう辺だが、
$\langle v_1v_0\rangle$ のように添え字を逆にしたものは、$v_1$ から $v_0$ へ
向かう辺ということになります。2単体の場合も同様で向きはちょうど2つあるので
$\langle v_0v_1v_2\rangle$ の偶置換の場合にこの単体と同じ向きで、奇置換の場合には
それと反対の向きを持つ 2単体となります。
サイクル $Z_n(K)$ の意味
$Z_n$ の元の意味を考えてみましょう。
$x\in C_1(K)$ に対して、$\sigma_i^1$ を 1単体として、$x=\sum_{i=1}^na_i\sigma_i^1$ とかけるとします。
この和は、いくつかの(向きづけられた)1単体の和と考えられます。
例えば $a_j\sigma_j$ は $a_j>0$ の場合 $\sigma$ の向きの1単体が$|a_j|$ 個ある状態であり、
$a_j<0$ の場合は $-\sigma$ の向きの1単体が $|a_j|$ 個ある状態です。
$\sigma$ と $-\sigma$ の和は相殺して0 になります。
この元がサイクルであるということは $\partial_1x=0$ が成り立つことですが、
$$\partial_1 x=\partial_1\sum_{i=1}^na_i\sigma_i^1= \sum_{i=1}^na_i\partial_1\sigma_i^1 $$
$$=\sum_{i=1}^na_i(v_i-w_i)=0$$
とします。ただし $w_i$ と $v_i$ は 0単体になります。
ここで項 $v_1$ の全ての係数を足して 0 ということは、元 $x$ はある $v_1$ に入ってくる1-単体
と出ていく1-単体の数が等しいということを意味します。
これが各頂点で成り立っていることから、それらを適当につなぎ合わせることで、
端のないいくつかのサイクルを1単体上で作ることができます。
例えば下の図を見てみると、一つの頂点に６つの向きづけられた1単体が
出入りしますが、それらを適当につなぎ合わせることでその頂点の前後で一続きとなるパスが出来上がります。
この操作を下の図でやってみるとこんな感じになります。
ある頂点で6つの辺(1単体)が入ったり出たりしており、出る矢印は3本、
入る矢印も3本です。これらを適当にまとめることで、3本の一続きの矢印になっていますね。この時どの矢印をペアにするかは任意性がありますが、この際どれでもいいです。
例えば2単体 $\langle v_0v_1v_2\rangle$ の境界準同型によって
$$\partial_2 \langle v_0v_1v_2\rangle= \langle v_1v_2\rangle-\langle v_0v_2\rangle+ \langle v_0v_1\rangle$$
$$= \langle v_1v_2\rangle+\langle v_2v_0\rangle+ \langle v_0v_1\rangle $$
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