数学リテラシー2(第3回)

[場所:2H101（火曜日15:15〜16:30, 16:45〜18:00）](2025年度)

数学リテラシー2のHP(2025年度)

今回第3回目の数学リテラシー2を行いました。

数学リテラシー2の3回目をやって行きたいと思います。

今回も前回に引き続き$\epsilon$-$N$ 論法になります。

はじめに数列の収束の定義をしておきます。

任意の $\epsilon$ に対して $N\in {\mathbb N}$ が存在して、$N$ よりも大きい任意の自然数 $n$ に対して

$|a_n-\alpha|<\epsilon$ が成り立つ

つまり、記号によって言い表すと $\forall \epsilon, \exists N\in {\mathbb N}, \forall n>N \text{ such that } |a_n-\alpha|<\epsilon$ 

となります。

これが収束の定義でした.

 

これに基づいて数列の性質を見て行きたいと思います。

 

先週最後にやったことは数列 $a_n$ と $b_n$ が収束するときにその和も

収束するということでした。

今回は次を証明します。

命題

数列 $a_n$ が $\alpha$ に収束するとき定数倍 $ca_n$ も収束して、定数倍 $c\alpha$ に収束する.

ということです。

簡潔に言うと $a_n\to \alpha$ なら $ca_n\to c\alpha$ です。

このことは次のようにして証明できます。

(証明)

$\forall \epsilon>0$ に対して、$\exists N\in {\mathbb N}$ に対して、$\forall n>N$ なら $|a_n-\alpha|<\frac{\epsilon}{|c|}$ が成り立ちます。

このとき、

$$|ca_n-c\alpha|<|c|\cdot|a_n-\alpha|<|c|\cdot\frac{\epsilon}{|c|}<\epsilon$$ 

となります。よって、$ca_n\to c\alpha$ が成り立つことがわかります。

ここで、わざわざどうして $|a_n-\alpha|<\frac{\epsilon}{|c|}$ と取ったのかというと、最後に

$|ca_n-c\alpha|<\epsilon$ を言うことで、定義を使っていることを明らかにしたかったからです。

次に教科書の命題を示して行きたいと思います。

命題

(1) $a_n\to \alpha$ かつ $b_n\to \beta$ とし、$a_n\le b_n$ とすると、$\alpha\le \beta$ である。

(2) $a_n\le c_n\le b_n$ かつ $a_n\to \alpha$ かつ $b_n\to \alpha$ であるとすると $c_n\to \alpha$

を満たす。

 

(2) の方の主張を挟み撃ちの原理と言います。

(証明) 

(1) を証明しましょう。

$\beta<\alpha$と仮定します。そのときに、$\epsilon=\frac{\alpha-\beta}{3}>0$ とおきます。

この時、

ある $N_1\in {\mathbb N}$ に対して $\forall n>N_1$ に対して $|a_n-\alpha|<\epsilon$ が成り立ち、

ある $N_2\in {\mathbb N}$ に対して $\forall n>N_2$ に対して $|b_n-\beta|<\epsilon$ が成り立ちます。

よって、$N=\max\{N_1,N_2\}$ とすると、$\forall n>N$ に対して、

$$b_n<\beta+\epsilon<\alpha-\epsilon<a_n$$

となるので、特に、$b_n<a_n$ がわかります。

これは仮定に矛盾するので、背理法から $\alpha\le \beta$ が成り立つことがわかります。

次に(2)を証明します

これも同様に、

ある $N_1\in {\mathbb N}$ に対して $\forall n>N_1$ に対して $|a_n-\alpha|<\epsilon$ が成り立ち、

ある $N_2\in {\mathbb N}$ に対して $\forall n>N_2$ に対して $|b_n-\alpha|<\epsilon$ が成り立ちます。

よって、$N=\max\{N_1,N_2\}$ とすると、$\forall n>N$ をとります。

このとき、

$$c_n-\alpha=c_n-b_n+b_n-\alpha\le b_n-\alpha<\epsilon$$

$$c_n-\alpha=c_n-a_n+a_n-\alpha\ge a_n-\alpha>-\epsilon$$

が成り立ち、よって

$$|c_n-\alpha|<\epsilon$$

が成り立つことがわかり、$c_n\to \alpha$ であることがわかります。 $\Box$ 

      

次に以下の例を示しましょう。

例  $a_n=\sqrt[n]{n}$ とすると $a_n\to 1$ となる。

 

この例は上の挟み撃ちの原理の応用例です。

(証明)

$n>1$ の時 $a_n>1$ であるから、$a_n=1+b_n$ とおくと、$b_n>0$ となる数列であることがわかります。この数列 $b_n$ が $b_n\to 0$ であることを示せば十分です。

そこで、

$n> 1$ のとき、

$$n=a_n^n=(1+b_n)^n\ge 1+nb_n+\frac{n(n-1)}{2}b_n^2>\frac{n(n-1)}{2}b_n^2$$

となり、

$$0<b_n<\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n-1}}$$    

となります。

ここで、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n-1}}$ が $0$ に収束することがわかれば、

挟み撃ちの原理から $b_n$ も $0$ に収束することがわかります。$\Box$

実際、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n-1}}$ が $0$ に収束するでしょうか？

これも $\epsilon$-$N$ 論法によって証明することができます。

$\forall \epsilon>0$ に対して、$2/\epsilon^2+1<N$ となる自然数 $N$ をとれば、$\forall n>N$ とすると、

$$|\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n-1}}-0|< \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{N-1}}<\epsilon $$

が成り立つことから、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n-1}}\to 0$ が成り立つことがわかります。$\Box$

次にこの補題を示します

補題

数列 $\{a_n\}$ が収束すれば、この数列は有界である。

つまり、$\{a_n\}$ が収束するなら、ある実数 $m,M$ が存在して、

$\forall n\in {\mathbb N}$ に対して $m\le a_n\le M$ であることになります。 

 

(証明) 

$a_n$ が $\alpha$ に収束するとします。

このとき、$\forall \epsilon>0$ に対して、$\exists N\in {\mathbb N}$ に対して

$\forall n>N$ なら、

$|a_n-\alpha|<\epsilon$ となります。

特に、$\alpha-\epsilon<a_n<\alpha+\epsilon$

また、$n\le N$ となる自然数は有限個しかないので、

$n\le N $なら

$$\min\{a_1,a_2,\cdots, a_N\}\le a_n\le \max\{a_1,a_2,\cdots, a_N\} $$

がわかる。

よって、これらを合わせて、

$$\min\{a_1,a_2,\cdots, a_n,\alpha-\epsilon\}\le a_n\le \max\{a_1,a_2,\cdots, a_N,\alpha+\epsilon\}$$

が成り立つので、

$a_n$ は有界であることわかります。 $\Box$ 

次に数列が収束する時その積の数列も収束することまた、商の数列の数列も収束することをみましょう。

命題

$a_n\to \alpha$ かつ $b_n\to \beta$ であるとき、

(1) $a_nb_n\to \alpha\beta$

(2) $a_n/b_n\to \alpha/\beta$ ただし、$\beta\neq 0$ かつ $n\in {\mathbb N}$ に対して $b_n\neq 0$ 

(証明)

(1)

$a_n$ と$b_n$ が収束することから、$b_n$ は有界であり、

任意の$n$ に対して $|b_n|<M$ となる実数 $M$ が存在します。

今、 $\alpha\neq 0$ と仮定します。

$a_n, b_n$ の収束性から、

$\forall \epsilon>0$ に対して、ある$N\in {\mathbb N}$ に対して $\forall n>N$ なら、

$|a_n-\alpha|<\frac{\epsilon}{2M}$ かつ $|b_n-\beta|<\frac{\epsilon}{2|\alpha|}$ が成り立ちます。

よって、

$$|a_nb_n-\alpha\beta|=|(a_n-\alpha)b_n-\alpha (b_n-\beta)|\le |a_n-\alpha||b_n|+|\alpha|\cdot|b_n-\beta|$$

$$<\frac{\epsilon}{2M}\cdot M+|\alpha|\cdot\frac{\epsilon}{2|\alpha|}<\epsilon$$

となります。

よって $a_nb_n\to \alpha\beta$ が成り立ちます。

(2) のほうの証明は省略します。$\Box$

次に、数列の単調増加性を定義します。

定義　数列 $\{a_n\}$ が単調増加であるとは、

$a_1\le a_2\le a_3\le\cdots$ が成り立つことである。

 

このとき、次の命題を証明することができます。

命題

数列 $a_n$ が単調増加であり上に有界であるなら、この数列は収束する.

 

(証明)

$A=\{a_n|n\in {\mathbb N} \}$ とすると、$A$ は上界が存在するので

$\sup A=\alpha$ とする。

このとき、$a_n$ が $\alpha$ に収束することを証明します。

前回の最後にやった命題を使うと、

$\forall \epsilon>0$ に対して、$\alpha-\epsilon<a_N$ となる $N\in {\mathbb N}$ が

存在します。また $n>N$ に対して

$a_N\le a_{N+1}\le a_{N+2}\le \cdots\le \alpha $であるから、

$-\epsilon <a_n-\alpha\le 0$ が成り立ちます。

特に、$|a_n-\alpha|<\epsilon$ が成り立ち、$a_n\to \alpha$ が成り立ちます。$\Box$

ではこの例を見て行きましょう

例

$a_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}$

とおくと、$a_n$ は収束する。

 

この数列はある実数に収束することを示すことができます。

どうしてかというと

$$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}<1+\sum_{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=1+1-\frac{1}{n}<2$$ 

上に有界です。また、$a_n$ が単調増加であることはすぐわかります。

よって、上の定理から、この数列は収束することがわかります。$\Box$

 

実際この数列の収束先は

$$\frac{\pi^2}{6}$$ 

になりますが、この収束先は簡単にはわかりませんが、

この値を求めることはバーゼル問題といい17世紀にオイラーによって初めて証明されました。