トポロジー入門演習(第10回)

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今日は、スライドによる解説はしませんでしたが、

• 無限積位相空間
• 分離公理

についてのプリントを配りました。
講義の方は、来週は休講なので、分離公理の講義は来年になるようですね。
ここで、開基、準開基などをおさらいして、無限積位相空間について書いておきます。
さらに、最後に、$T_2$-空間について定義と例をあげました。

開基
$\mathcal{B}$ が開基であるというのは、位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の位相 $\mathcal{O}$ の部分集合で、以下のように、位相を形作るものです。

もしこの辺りのことに自信がなければ、以下のことをじっくり考えてみてください。

定義
開基とは、任意の開集合 $U$ が $\mathcal{B}$ の元のいくつかの和集合として作ることが
できるものをいいます。つまり、

$\mathcal{B}$ とは、$\mathcal{B}\subset\mathcal{O}$ であり、
$\forall U\in \mathcal{O}$ に対して、$\mathcal{B}’\subset \mathcal{B}$ が存在して、

$U=\underset{A\in \mathcal{B}’}{\cup}A$

となるものをいいます。

つまり、開基の元を寄せ集めれば、すべての開集合を作ることができるような

ものであるので、開基とは、位相の基本的なパーツというわけです。

この開基の条件を言い換えると、以下のようになります。

(条件)

$\forall x\in U$ に対して、ある $A\in \mathcal{B}$ が存在して、

$x\in A\subset U$ となるものが存在すること。

です。

もし、この条件が満たされれば、$x\in U$ に対して、$A_x$ となる開基 $A_x\in \mathcal{B}$ が存在することになります。

よって、$U=\underset{x\in U}{\cup}A_x$ となるので、集合 $\mathcal{B}$ が開基であることが

わかります。

また、$\mathcal{B}$ が開基であるとすると、

$U=\underset{A\in \mathcal{B}’}\cup A$ があり、$\forall x\in U$ に対して、

$x\in A$ となる $A\in \mathcal{B}’\subset \mathcal{B}$ が存在することになります。

例

$(X,\mathcal{O}_d)$ を距離位相空間とします。

このとき、この距離位相空間の開基 $\mathcal{B}_d$ は、$\{B_d(x,\epsilon)|x\in X,\epsilon\in {\mathbb R}_{>0}\}$ としてえられます。 

${\mathbb R}_{>0}$ は、正の実数の集合を表します。

次に準開基を説明します。

開基が位相の部分集合で、その和集合ですべての開集合が作られたように、

準開基とは、すべての開基がそのいくつかの共通集合をとることで得られるもの

をいいます。

つまり、$\mathcal{B}$ を開基とすると、$\forall A\in \mathcal{B}$ に対して 

$C_1\cdots, C_n\in S$ が存在して、$A=C_1\cap C_2\cap\cdots \cap C_n$ とできるようなもの、

つまり、有限個 $S$ の元を取ってこれば、すべての開基の元を共通部分として

書くことができるような $S$ を準開基といいます。

この $n$ は、$A$ に依存したで、自然数もしくは $0$ です。

$n=0$ の場合は、一つも開集合を取らないのだから、空間全体 $X$ のことです。

しかし、空間全体 $X$ は開基の元として入れておく必要はないかもしれません。

通常、$\underset{A\in\mathcal{B}}\cup A=X$ であるなら、開集合 $X$ は他の開集合から

作れるので、開基に $X$ を入れておく必要はないからです。

でも、ある1点を含む開集合が、全体集合しかないというような場合には、

開基として、全体集合を入れておく必要があります。

ですので、上の $n$ は自然数もしくは、$0$ となります。

例

$X\times Y$ を積位相空間とします。

$X\times Y$ の位相空間の開基は、

$\mathcal{B}=\{U\times V|U\in \mathcal{O}_X,V\in\mathcal{O}_Y\}$ として得られます。

ここで、$S=\{U\times Y|U\in \mathcal{O}_X\}\cup \{X\times V|V\in\mathcal{O}_Y\}$ と定義すると、$S\subset \mathcal{B}$ であり、

$\mathcal{B}$ の任意の元 $U\times V$ は、この $S$ の中の元の開集合の共通集合として得られることがわかります。

この集合は、$p_X,p_Y$ を $X\times Y$ の $X,Y$ への射影とするとき、

$S=\{p^{-1}_X(U)|U\in \mathcal{O}_X\}\cup \{p^{-1}_Y(V)|V\in \mathcal{O}_Y\}$

と書き表すことができます。

このように位相をいれることで、積空間は、自然な射影 $p_X,p_Y$ が連続になる

最小の位相になります。

また、一般に、位相空間 $(X,\mathcal{O})$ が準開基 $S$ によってえられるとき、

この位相空間は、$S$ によって生成されるといいます。

無限積空間

無限積空間とは、添字づけられた集合族 $\{X_\lambda|\lambda\in \Lambda\}$ が与えられたとき、

積集合 $\underset{\lambda\in \Lambda}{\prod}X_\lambda$ に入る位相構造のことを言います。

準開基を定めることによって、無限積空間を定めます。

$X_\lambda$ の位相を $\mathcal{O}_\lambda$ とします。

積集合に準開基を定める方法は様々ありますが、もっとも使われるのは、

$\{p_\lambda^{-1}(U)|U\in \mathcal{O}_\lambda,\lambda\in \Lambda\}$ を準開基とする方法です。

これも積位相といいます。

$p_\lambda$ は射影 $p_\lambda:\underset{\lambda\in \Lambda}{\prod}X_\lambda\to X_\lambda$ のことであり、 積位相というのは、各 $p_\lambda$ が連続になるための最小の位相ということになります。

また、他に、$\{\underset{\lambda\in \Lambda}{\prod}U_\lambda|U_\lambda\in \mathcal{O}_\lambda,\lambda\in\Lambda\}$

を開基とするような位相も入れることができますが、一般に、この位相は積位相空間とは

異なる位相になります。この積位相は箱型積位相といいます。

積位相の開集合には、有限個の $\lambda\in \Lambda$ 以外は、自然な射影で、

$X_\lambda$ となります。

しかし、箱型積位相の場合には、無限個の $\lambda\in \Lambda$ において、射影の結果、$X_\lambda$ とならないものも存在します。

分離公理

分離公理は、位相空間の特徴において重要な性質の一つです。

いくつかのヴァリエーションがありますが、ここでは、ハウスドルフと言われる

$T_2$-空間について紹介して終わります。

$T_2$-空間(ハウスドルフ空間)

位相空間 $X$ が $T_2$-公理を満たすとは、任意の $p,q\in X$ において、

$p\neq q$ ならば、ある互いに素な開集合 $U,V$ が存在して、$p\in U$ かつ、$q\in V$

が成り立つ。

つまり、任意の相異なる2点は、開集合によって分離することができるということです。

互いに素とは、$U\cap V=\emptyset$ ということでした。

例

いつも出てくる例は距離空間のものばかりですが、ここでもそうです。

$(X,\mathcal{O}_d)$ を距離位相空間とすると、この位相空間は $T_2$-空間になる。

(証明) $p,q\in X$ とする。このとき、$\delta=d(p,q)/2$ とし、$U=B_d(p,\delta),V=B_d(q,\delta)$ とすると、$p\in U,q\in V$ かつ、$U\cap V=\emptyset$ となります。

最後の主張は、$x\in U\cap V$ とすると、$d(p,q)\le d(p,x)+d(q,x)<2\delta<d(p,q)$となり矛盾する。

ゆえに、$X$ は $T_2$-空間である。(終)

距離空間ならば、どんな２点も開集合によって分離することができました。

トポロジー入門演習(第9回)

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今回は、小テストを行い、以前やり残していた

• 同相
• 第一可算公理
• 第二可算公理
• 可分
• 積空間

についての演習を配りました。

小テストの講評は次回行います。


同相
位相空間 $(X_1,\mathcal{O}_1)$と $(X_2,\mathcal{O}_2)$ が同相であるということは、
ある連続な全単射 $f: X_1\to X_2$ が存在し、さらに、逆写像
$f^{-1}:X_2\to X_1$ も連続であることを言います。

これによって、$U_1\in \mathcal{O}_1$ に対して、$(f^{-1})^{-1}(U_1)=f(U_1)$ は
連続であるから、$f(U_1)\in \mathcal{O}_2$ です。

つまり、この場合、$f^{-1}$ が連続であるとは、$f$ が開写像であることと同値に
なります。

つまり、同相写像とは、連続全単射な開写像のこととしても同じです。
また、$f:(X_1,\mathcal{O}_1)\to (X_2,\mathcal{O}_2)$ が連続であることは、
全単射写像 $f:X_1\to X_2$ によって、$\mathcal{O}_1,\mathcal{O}_2$ の
間に
$\forall U\in \mathcal{O}_1\Rightarrow f(U)\in \mathcal{O}_2$
$\forall V\in \mathcal{O}_2\Rightarrow f^{-1}(V)\in \mathcal{O}_1$

によって定義される一対一対応 $\mathcal{O}_1\to \mathcal{O}_2$
が存在するといっても同じことです。

例
$f:X\to Y$ を商写像とします。
商写像とは、$f$ が全射かつ

$U\in \mathcal{O}_Y\Leftrightarrow f^{-1}(U)\in\mathcal{O}_X$

を満たす写像のことでした。

このとき、$X$ 上に $x\sim y\Leftrightarrow f(x)=f(y)$ として同値関係を入れることが

できます。このとき、商写像からの写像 $g:X/\!\sim\, \to Y$ として、
$g([x])=f(x)$ が定義することができます。
この写像は、$[x]$ の代表元 $x$ に依存した形で表されていますが、
代表元の取り方にはよりません。

つまり、$g$ は、同値類だけで定義されるということがわかります。
また、$g$ の定義の仕方から、$g$ は全単射であることもわかります。

つまり、$f$ は $X\overset{\text{pr}}{\to} X/\!\sim\overset{g}{\to}\, Y$ として
$f=g\circ \text{pr}$ と分解されます。ここで、$\text{pr}$ は、$x\mapsto [x]$ として、$x$ を含む
同値類集合に値を取る、自然な射影となります。

今、$X/\!\sim$ に、$\text{pr}$ を商写像として、商位相 $\mathcal{O}(\text{pr})$ を
$U\in \mathcal{O}(\text{pr})\Leftrightarrow\text{pr}^{-1}(U)\in \mathcal{O}_X$
として定義しておきます。

いま、$U\in \mathcal{O}(\text{pr})$ に対して、
$\text{pr}^{-1}(U)=f^{-1}(g(U))$ であり、$f$ は商写像であったので、定義から、
$g(U)\in \mathcal{O}_Y$ が成り立ちます。よって、

$g:(X/\!\sim,\mathcal{O}(\text{pr}))\to (Y,\mathcal{O}_Y)$ 

は開写像となります。
また、
$\forall V\in \mathcal{O}_Y$ に対して、
$\text{pr}^{-1}(g^{-1}(V))=f^{-1}(V)$
となり、$f$ は商写像で、連続なので、$f^{-1}(V)\in \mathcal{O}_X$
となります。
ゆえに、$\mathcal{O}(\text{pr})$ の定義から、$g^{-1}(V)$ は $g^{-1}(V)\in\mathcal{O}(\text{pr})$ よって、

$g:(X/\!\sim,\mathcal{O}(\text{pr}))\to (Y,\mathcal{O}_Y)$ 

は連続となります。
よって、$g$ は連続全単射な開写像であるから、$g$ は同相写像となります。

つまり、商写像 $f:X\to Y$ は、$Y$ に $f$ によって構成してできる商空間
と同相になるということがわかります。

第一可算公理
第一可算公理とは、 位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の任意の点 $x\in X$ において、
$x$ の基本近傍基 $\mathcal{N}^\ast(x)$ として、高々可算個の集合がとれることを言います。
高々可算というのは、可算集合もしくは、有限集合ということです。
そのような空間は第一可算公理を満たすといいます。

可算ではない基本近傍系が取れたからといって、第一可算ではないとは言えません。
うまく取り替えれば、可算にできる可能性があるからです。

例えば、距離空間などは、$\forall x\in X$ に対して、
$\{B_d(x,\frac{1}{n})|n\in {\mathbb N}\}$ が基本近傍基を与え、
これは可算集合であるので、第一可算であることがすぐわかります。

離散空間なら、
$\forall x\in X$ に対して1点集合 $\{x\}$ を基本近傍基としてとれるので、有限集合なら
高々可算であるので、これも第一可算です。

また、有限位相空間も、開集合自体、有限個しかありませんから自明に
第一可算です。
ちなみに、授業中で、可算集合上の位相は第一可算とか
口走った気がしますが、可算集合であっても、第一可算を満たさないものが
存在するようです。構成の仕方はよく知りません。

第二可算公理
第二可算公理とは、 位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の開基として、高々可算個の
ものが取れるときを言います。
そのような位相空間を第二可算を満たすといいます。

例えば、${\mathbb R}^n$ 上のユークリッド距離位相などはこの空間です。

というのも、${\mathbb R}^n$ には、可算部分空間 ${\mathbb Q}$  があり、
この各点において、${\bf B}=\{B_d((r_1,\cdots,r_n),\frac{1}{m})|r_i\in {\mathbb Q},m\in {\mathbb N}\}$
なる部分集合を開基とすることでこの位相が構成できます。$r_i\in {\mathbb Q}$ です。

このような集合が可算集合であることは、すぐわかりますが、開基であることは、
少し証明する必要があります。
感じとしては、任意の ${\bf x}=(x_1,\cdots, x_n)\in {\mathbb R}^n$ に対して、
その近傍 $B_d({\bf x},r)$ にいくらでも近くに上のような近傍が存在することを示せば
すみます。つまり、$\{U\in {\bf B}|{\bf x}\in U\}$ がちょうど、
この位相空間の基本近傍基となります。

一般に、第二可算公理を満たせば、第一可算公理も満たします。


可分
可分とは、可算な稠密な部分集合が存在することを言います。
稠密とは、位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の部分集合 $A$ が $\bar{A}=X$ となることを
言います。
例えば、${\mathbb R}^n$ は、稠密な可算部分集合 ${\mathbb Q}^n$ が存在するので、
${\mathbb R}^n$ は可分な空間となります。

一般に、第二可算公理を満たせば、可分です。

積位相空間
積位相空間とは、位相空間、$(X,\mathcal{O}_X)$ と $(Y,\mathcal{O}_Y)$ とするとき、
直積集合 $X\times Y$ に与えられる位相空間は、 $\{U\times V|U\in \mathcal{B}_X,V\in \mathcal{B}_Y\}$
を開基とする位相空間のこととして定義します。
ここで、$\mathcal{B}_X,\mathcal{B}_Y$ は、$\mathcal{O}_X,\mathcal{O}_Y$ の開基とします。

今、$X\times Y$ に積位相を入れておきます。
$p_X:X\times Y\to X$ や $p_Y:X\times Y\to Y$ を各成分への射影とします。
このとき、$U\in \mathcal{O}_X,V\in\mathcal{O}_Y$ に対して
$U\times Y= p_X^{-1}(U)$ や $X\times V=p_Y^{-1}(V)$ が
開集合なので、積位相空間は、$p_X,p_Y$ は連続となります。

逆に、このような開集合が入っているような位相空間は、$p_X,p_Y$ を連続にする
最小の位相ということになります。

トポロジー入門演習(第8回)

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今日は、

• 誘導される位相
• 相対位相
• 商位相、商写像
• 商空間

に関して演習を行いました。これは、来週の試験の範囲なので、

ここで少し書いておきます。

誘導される位相

写像 $f:X\to Y$ があるとします。 $Y$ には位相 $\mathcal{O}_Y$ が入っているとします。

このとき、 $X$ 上に"誘導される位相” が構成できます。

つまり、$f$ によって、$Y$ の位相を引き戻したものを $X$ の位相として

迎え入れるのです。数式を使って書けば、

$$U\in \mathcal{O}_f\Leftrightarrow U=f^{-1}(V), V\in \mathcal{O}_Y$$

となります。

つまり、$\{f^{-1}(V)|V\in \mathcal{O}_Y\}$ を $\mathcal{O}_f$ であるといっても

同じことです。

このように、$X$ に位相を入れると、$f$ は定義から連続になります。

誘導される位相は位相になります。

この証明は省略します。

相対位相

相対位相は、位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の部分集合$A$に与えられる位相のことを言います。

$A$ は $X$ の部分集合であれば、どんなものでもよいです。

例えば、$X={\mathbb R}$ の場合、開区間や、閉区間、一点集合、有理数全体 ${\mathbb Q}$

でもよいです。

このとき、以下のような位相を $A$ に与えます。

$$\mathcal{O}|_A=\{A\cap U|U\in \mathcal{O}\}$$

そうすると、$(A,\mathcal{O}|_A)$ が位相であることが確かめられます。

(1) $U$ として $X$ の空集合 $\emptyset, X$ としてとることで、$A$ において、$\emptyset,A$ が $\mathcal{O}|_A$ に入ることが確かめられます。

(2) $\mathcal{O}|_A$ から有限個の元 $V_1,\cdots, V_n$ を選んだ時、定義から、

$V_i=A\cap U_i$ (ただし、$U_i\in \mathcal{O}$ とする)としてかけます。

よって、$\cap_{i=1}^nV_i=\cap_{i=1}^n(A\cap U_i)=A\cap(\cup_{i=1}^nU_i)$

であるが、$\cup_{i=1}^nU_i\in \mathcal{O}$ であるので、$\cap_{i=1}^nV_i\in \mathcal{O}|_A$ がいえます。

(3) $\mathcal{O}|_A$ から任意個の元 $\{V_\lambda\}\subset \mathcal{O}$ を選んだ時、定義から、

$V_\lambda=A\cap U_\lambda$ (ただし、$U_\lambda\in \mathcal{O}$ とする)としてかけます。

よって、$\cup_{\lambda\in\Lambda}V_\lambda=\cup_{\lambda\in\Lambda}(A\cap U_\lambda)=A\cap(\cup_{\lambda\in \Lambda}U_\lambda)$ 

であるが、$\cup_{\lambda\in \Lambda}U_\lambda\in \mathcal{O}$ であるので、$\cup_{\lambda\in \Lambda}V_\lambda\in \mathcal{O}|_A$ がいえます。

よって、$(A,\mathcal{O}|_A)$ が位相であることが確かめられました。             $\Box$

$(A,\mathcal{O}|_A)$ の中の開集合は、$(X,\mathcal{O})$ での開集合とはならない
場合があるので注意が必要です。

例えば、$X={\mathbb R}$ に通常の距離位相をいれておいて、

$A=[0,3]$ と閉区間とします。

このとき、$A$ に与えられる開集合は、$A\cap U$ の形です。

ただし、$U$ は ${\mathbb R}$ の開集合です。

たとえば、$U=(1,2)$ とすれば、$A\cap U=(1,2)$ であり、

$U=(2,4)$ とすれば、$A\cap U=(2,3]$ となります。

$3$ の近くでなんだか閉集合のようになっていますが、これで良いのです。

空間 $A$ が $X$ で開集合である必要性はありません。

(上に、どんな部分集合でもよいといいました)

なので、共通集合 $A\cap U$ をとると、$X$ においては、開集合に

ならないかもしれません。

空間 $A$ においての 3 のような点は空間の中の端の点というだけです。

その部分集合に入った感覚で捉えることが大切です。

商写像

$(X,\mathcal{O}_X),(Y,\mathcal{O}_Y)$ を位相空間とします。

商写像 $f:X\to Y$ とは、$f$ が全射であり、

$X,Y$ の位相 $\mathcal{O}_X,\mathcal{O}_Y$ とすると、

$$U\in \mathcal{O}_Y\Leftrightarrow f^{-1}(U)\in \mathcal{O}_X$$

であることとして定義されます。

商空間

商写像、$f:X\to Y$ があるとすると、$Y$ の位相は、$\{U|f^{-1}(U)\in \mathcal{O}_X\}$ 

として定まります。このような$Y$ の位相を $f:X\to Y$ における商位相と言います。

また、商位相をもつ空間を商空間といいます。

一般に、全射 $f:X\to Y$ があるとすると、$Y$ は、$f$ による商集合と

見なせます。つまり、$\forall x_1,x_2\in X$ に対して、

$$x_1\sim x_2\Leftrightarrow f(x_1)=f(x_2)$$

という同値関係を $X$ に入れることで、$Y$ は商集合 $X/\!\sim$ と対等(全単射)と

なるのです。

商空間とは、商集合に入る一番自然な位相です。

どういうことかというと、$Y$ 上の商位相は、$f:X\to Y$ が連続となるような、

一番大きい位相を入れているからです。

ちなみに、

連続な開写像は商写像となります。

また、同じように、

連続な閉写像は商写像となります。

(証明)

$f:X\to Y$ が連続、開写像としますと、

示せばよいのは、

$$U\in \mathcal{O}_Y\Leftrightarrow f^{-1}(U)\in \mathcal{O}_X$$

の同値関係ですが、

右向きは、$f$ の連続性を言っています。

左向きは、$f^{-1}(U)\in\mathcal{O}_X$とすると、$f(f^{-1}(U))=U$ であるから、

$f$ が開写像であることから、$U\in\mathcal{O}_X$ が成り立ち、成り立ちます。

よって、$f$ が連続開写像であれば、$f$ は商写像であることがわかります。
後半の連続閉写像の命題は省略します。             $\Box$

また、ここで、下を示しておきます。

$g:X\to Y, h:Y\to Z$ 、かつ$f=h\circ g$ であるとすると、

$g$ が商写像、$f$ が連続なら、$h$ は連続である。

(証明)

$X,Y,Z$ の位相を $\mathcal{O}_X,\mathcal{O}_Y,\mathcal{O}_Z$ とします。

$\forall U\in \mathcal{O}_Z$ とします。このとき、$f$ が連続なので、$f^{-1}(U)\in \mathcal{O}_X$

が成り立ちます。$f^{-1}(U)=g^{-1}(h^{-1}(U))$ であり、$g$ が商写像であるから、

$h^{-1}(U)\in \mathcal{O}_Y$ を満たします。

よって、$h$ は連続となります。             $\Box$