トポロジー入門演習(第7回)

[場所1E202（月曜日4限）]

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今日は、

• 開基について

についてのプリントを配りましたが、トポロジー入門の講義の方では、

まだやっていない部分だったようです。

私の勘違いにより、少し先取りして演習で取り上げてしまいました。

来週は一つ戻って、相対位相などについての演習をします。

とりあえず、ここでは、開基について書いておきます。

ベクトル空間には、基底の概念が重要でした。

位相にも開基とよばれる概念が重要となります。

線形代数では、

ベクトル空間の基底とは、ベクトル空間の部分集合で、

ベクトル空間の任意のベクトルはいくつかの基底の線形結合によって得られる。

位相分野では、

位相空間の開基とは、位相の部分集合で、

位相の任意の開集合はいくつかの開基の和集合によって得られる。

との類似があります。

（ただ、任意のベクトルは基底の線形結合によって一意的に書くことができますが、

任意の開集合は開基の和集合によって一意的に書けるわけではありません。）

つまり、開基とは位相空間の基底の役割を果たしています。

ここで、開基の定義をしておきます。

定義（開基）

$(X,\mathcal{O})$ を位相空間とする。

$\mathcal{B}\subset \mathcal{O}$ が開基であるとは、

$\forall U\in \mathcal{O}$ に対して、$\mathcal{S}_U\subset \mathcal{B}$ が存在して、

$U=\cup_{V\in \mathcal{S}_U}V$ となることをいう。

$\mathcal{B}$ が開基かどうかわかる判定条件として次があります。

$U\in \mathcal{O}$ に対して、$\forall x\in U$ に対して、

$V\in\mathcal{B}$ が存在して、$x\in V\subset U$ となること。

です。

例1

$(X,\mathcal{O}_d)$ を距離位相とします。

このとき、任意の開集合 $U\in \mathcal{O}$ に対して、

距離位相の定義から、$\epsilon>0$ が存在して、$x\in B_d(x,\epsilon)\subset U$ となります。

開基であることの判定条件から、これは、

$\{B_d(x,\epsilon)|x\in X,\epsilon>0\}$ が、$\mathcal{O}_d$ の開基である

ことを意味しています。

例2

$(X.\mathcal{O})$ を離散位相とします。

このとき、$\mathcal{B}=\{\{x\}|x\in X\}$ とすると、

これは、$\mathcal{O}$ の部分集合であり、

任意の $A\in \mathcal{O}=\mathcal{P}(X)$ とすると、

$A=\cup_{x\in A}\{x\}$ であるので、$\mathcal{B}$ も離散位相 $X$ の

開基となります。

このように、位相の部分集合で、その和集合を取れば、位相の全ての開集合を

復元することができるとき、その部分集合を開基と言います。