トポロジー入門演習(第1回)

[場所1E103（月曜日4限）]

問題プリント

HPに行く．

今日から秋学期が始まりました。
トポロジー演習も始まりました。今日の内容は、
授業についてのガイダンスや成績のつけ方などと

• 距離空間であることの示し方
• 開集合、境界点、内点

などです。初回はあまり解いてくれる人も少ない時もありますが、今日は、比較的多くの人が解いていたような気がします。解いた人の情報は、ホームページ上に

近々アップします。

ここでは今日の復習をします。

距離空間であること

距離空間であることを示す方法は、去年のものがありましたので、リンクさせて

おきます．去年やった同じ問題についての解説を書いています．

今日発表してくれた人も何人かいますね．

トポロジー入門演習(第1回)2015年バージョン

このページと、今日の解説を見ればわかると思いますが、

空間 $X$ と関数 $d:X\times X\to {\mathbb R}$ が $X$ 上で距離関数の性質を満たせば

$d$ が距離関数になり、$(X,d)$ が距離空間になります．距離空間の性質を今日説明した感じで書いておくと、

(1) $d(x,y)\ge 0$、かつ  $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$

(2) $d(x,y)=d(y,x)$、
(3) $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$　

となります．

さらに去年の同じページに、以前書いた、距離空間と位相空間についての関係について

も書きました．

位相空間と距離空間

距離空間や位相空間で何をするのかがわかると想います．

また、今日配ったプリントは、がなかったので、

来週は、トポロジー演習で使う用語集の方も作成して渡します．

内点、境界点、外点

今日のトポロジー入門の授業ではやらなかったようですが、問題を解いている人が

いたので、ここで先に説明しておきます．

ここで、中心を $x$ とし半径が $r$ となる球体

$$\{y\in X|d(x,y)<r\}$$

のことを、

$$B(x,r)$$

と書くことにします．この書き方は、共通なものではなく、本によっては、

$U(x;r)$ と書いたり、$B_r(x)$ や $B_x(r)$ などと書くこともあります．

どれも同じものです．

開集合

まず、$A\subset X$ が距離空間 $X$ の開集合であるとは、任意の $p\in A$ に対して、

ある $\epsilon>0$ が存在して、$p\in B(p,\epsilon)\subset A$ となるようにできる．

つまり、開集合とは、どのどの点でも、その点を中心とした開球体を内部に置く

ことができるということです．ある集合が開集合であることを示すには、

必ずこの定義に戻って考えます．

ちなみに、開球は、名前の通り、開集合です．

距離空間 $X$ において、部分集合 $A\subset X$ の内点、外点、境界点は
以下のようにして定義します．

内点

$p$ が $A$ の内点であるとは、ある $\epsilon>0$ が存在して、$B(p,\epsilon)\subset A$ となることをいう．

外点

$p$ が $A$ の外点であるとは、ある $\epsilon>0$ が存在して、 $B(p,\epsilon)\subset A^c$ となることをいう．

境界点

$p$ が $A$ の境界点であるとは、任意の $\epsilon>0$ に対して、$B(p,\epsilon)\cap A\neq \emptyset$ かつ $B(p,\epsilon)\cap A^c\neq \emptyset$となることをいう．

となります．今日、証明してくれたいたように、境界点は、距離空間の中で、内点でも外点でもない点ということになります．

最後に、

トポロジー(位相空間論)の演習は、発表中心に行いますが、どんな簡単な問題でも、

論理的に飛躍があったり、ごまかしたりするところがありましたら、どんどん突っ込んで

いこうと思っています．これまでの演習より厳しめかもしれませんが、そのような

演習を通して、位相空間論に限らず、ちゃんと証明できる技術を養っていければと思っています．

また、

あたりまえだと思えることでも、
数学の命題は、定義に戻れば必ず証明することができる

ことを忘れてはいけません．自分の感覚で、いつもこうだから
では数学はできません．

いかにして、数学の証明を書くか、発表をするかについての心構えについては、

去年のトポロジー入門演習のページに書きましたので、これについても

リンクしておきます．

トポロジー入門演習(第3回)の後半部分

数学の発表もしくは証明をかくことに関して

この演習を通して、それらを身につけていってください．