この前の手習い塾で学生（博士課程の学生ですが）と位相について話していて、
その反例として有限集合上の位相を考えたりしてました．
有限集合上の位相（有限位相空間）は反例が作りやすいので、いろいろと
思考実験にはもってこいです．
下に書くように特殊なものしか作れませんが．
そういわけで位相空間の例として有限集合上の位相が教科書によく出てきます．
位相の演習の時間には２点上に入る位相を数えなさい．
や、３点上に入る位相を数えなさいなど位相の定義を使って位相を作ってみる
演習をやったりします．
そのような空間は３点くらいの分類を始めたところでわかると思いますが、
結構難しいです．
単純で素朴な対象ほど奥が深く、難しいことがよくあります．
有限群の分類だとか、結び目の分類なんかも...
まず、有限位相空間が距離空間であったとすると、すぐわかることですが
離散位相になります．またそれをハウスドルフ $T_2$ にしても同じことであるのは
すぐわかります．
また、$T_1$ としても離散なものしかありません．
$T_1$ とは異なる2点 $p,q$ を取ってきたときに、 $p\in U$ かつ $q\not\in U$ となる
開集合 $U$ と $q\in V$ かつ $p\not\in V$ となる開集合 $V$ がとれることです．
これは、任意の一点集合が閉集合であるといっても同じことです．
つまり非$T_1$ を考えることが本質です．
なので、定義にハウスドルフを仮定している正則や正規はあまり意味がありません．
しかし、一般に一点集合が閉ではないので、$T_3$ や $T_4$ などの公理も
この場合でも意味があります．
また、有限位相空間では $T_0$ は重要な意味があります．
$T_0$ とは上記の $U$ と $V$ がどちらかが存在すればよいというものです．
もちろん定義から $T_1$ ならば $T_0$です．
有限位相空間は次のように、前順序集合(preordered set)と以下のように
対応をつけることができます．
前順序集合とは集合上の順序を込めた2項関係 $a\le b$ で、
だだし、
3. $a\le b$ かつ $b\le a$ ならば $a=b$ (反対称律)
は成り立つとは限りません．
もし成り立てば、半順序集合(partially ordered set, poset)となります．
$X$ を有限位相空間として、$\forall x\in X$ に対して、
$U_x$ を $x$ を含む最小の開集合とします．
有限集合なのでそのような最小の開集合が存在します．
（有限集合上のべき集合も有限なので任意の共通部分や和集合は
有限個の共通部分や和集合となります．そういうわけで当たり前ですがコンパクトです．）
つまり、$U_x$ は $x$ を含む全ての開集合が含んでいる開集合です．
つまり $U_x$ は $X$ 上の開基 $\beta=\{U_x|x\in X\}$ を与えていることになります．
このような開基を $X$ の極小開基と言います．
極小開基がこの位相空間を全て特徴づけているわけです．
このとき、 $X$ 上に前順序を以下のようにいれます．
$x,y\in X$ に対して $x\le y$ を $x\in U_y$ として定義します．
つまり、ある点 $y$ に対してその開近傍にいつも含まれている点達は
$y$ より小さいとするのです．
いつも従えているものを下にみなすというイメージでしょうか？
また、 $U_x$ に関して包含関係に関して $X$ に順序を入れていると言っても
同じことです．
そうすると、反射律や推移律はすぐ満たされることは分かります．
また、違う点でもお互いを従えている関係があれば、$x\le y$ かつ $y\le x$
がありえます．
しかし、上記の$T_0$という公理があるなら、違う点ならば、どちらかの
束縛から外れなければならないので、このようなことは起こりません．
つまり、 $T_0$ 有限位相空間の前順序は半順序に
なります．
また有限位相空間上の連結性は、下の３つは同値です．
${\frak X}_1=\{\emptyset, X\}, {\frak X}_2=\{\emptyset, \{a\},X\},{\frak X}_3=\{\emptyset, \{a,b\},X\},$
${\frak X}_4=\{\emptyset, \{a\},\{b,c\},X\},{\frak X}_5=\{\emptyset, \{a\},\{a,b\},X\},$
${\frak X}_6=\{\emptyset, \{a\},\{a,b\},\{c,a\},X\},{\frak X}_7=\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{a,b\},X\},$
${\frak X}_8=\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{a,b\},\{b,c\},X\},{\frak X}_9=\{\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{b,c\},\{c,a\},X\}$
の9個あって、
$T_0$ 空間であるのは、${\frak X}_5,{\frak X}_6$, ${\frak X}_7$, ${\frak X}_8$, ${\frak X}_9$
であって、対応する半順序から来るハッセ図（包含関係をグラフにしたもの）
は下のようになります．
$3$点集合の $T_0$ 空間が組み合わせ的にこれだけしかないことも逆にすぐ分かるでしょう．
また、${\frak X}_4$ と ${\frak X}_8$ と ${\frak X}_9$ は非連結で、
一般に有限位相空間を同相類の立場で分類するのは、極めて大変で、
一般に $n$ 点上の位相空間（$T_0$でないのも含めて）が一体いくつあるのか
1つ1つ分類するほかよく分かっていないようです．
そこで、ホモトピーの立場で分類することを考えたりすることが多いです．
ホモトピーとは、同相よりは弱いが空間の繋がり具合を反映する重要な同値関係です．
筑波大ではトポロジーＩＩＩでこの概念が登場します．
トポロジーＩＩＩには演習がついていないのが残念ですが．
まず、連続写像 $f,g:X\to Y$ がホモトピー同値 $f\simeq g$ であるとは、ある連続写像
$H:I\times X\to Y$ が存在して、$H(0,x)=f(x), H(1,x)=g(x)$ となることです．
ここで、$I$ は単位区間で$I\times X$ には通常の積位相が入っています．
さらに、2つの空間 $X,Y$ がホモトピー同値であるとは、
ある連続写像 $f:X\to Y$ と $g:Y\to X$ が存在して、$f\circ g\simeq id_Y$かつ
$g\circ f\simeq id_X$ であることです．
2つの空間 $X,Y$ がホモトピー同値であるなら、そのホモトピー群
$\pi_n(X,x)$ $\pi_n(Y,y)$ が同型になります．
ところで、ホモトピー群 $\pi_n(X,x)$ とは大体、位相空間 $X$ の中に内部で連続的に
動かして一点につぶれないような（基点付きの） $S^n$ （$n$次元球面）が
どれほどあるかということを測るもので、群を値をもちます．
つまり群が違えば違う位相空間ということになります．
正確に定義しようとすると面倒なのでここではしませんが．
$\pi_1(X,x)$ は位相空間の基本群と呼ばれ、$X$ の中への連続な $S^1$（円周）で
内部で引っかかってとれないところがいくつあるかということを表しています．
同相であれば、それらはもちろん群として同型になりますがホモトピー同値という概念でも
それは同型になります．
有限位相空間にもこの概念がどのように計算されるかみましょう．
定義からぐ分かることですが、ある点の極小な開集合 $U_x$ が全体集合
になってしまうような空間は可縮です．つまり一点とホモトピー同値です．
例えば、${\frak X}_1\simeq{\frak X}_2\simeq{\frak X}_3\simeq{\frak X}_5\simeq{\frak X}_7$
は全て一点からなる位相空間とホモトピー同値です．
（ホモトピー同値であるが同相ではない．）
他の空間も考えましょう．
McCordによって以下が示されています．
定理（McCord）
有限集合上の位相で、$x\le y$かつ$y\le x$である点$x,y$を同一視した位相空間
はもとの位相空間にホモトピー同値．
例えば、${\frak X}_4$ は $b,c$を同一視すれば、2点からなる離散空間にホモトピー同値です．
また、上の ${\frak X}_5,{\frak X}_6,{\frak X}_7$ は全て1点集合とホモトピー同値です．
つまり可縮です．
というのも、${\frak X}_5$ の表わすハッセ図の直線を上下に縮めると一点になります．
また、${\frak X}_6$、も例えば右の腕を縮めれば直線型にホモトピー同値で
さらに、縮めれば一点にホモトピー同値です．
${\frak X}_7$ も同様です．
このような縮めることができる点のことをbeat pointといいます．
そういうわけで、3点集合のホモトピー同値類は
3つあって、全て離散的な 1点集合、2点集合、3点集合のどれかになるわけです．
そうすると、4点集合上の $T_0$ 空間のホモトピー同値類を全て求めよ．
という問題を演習で出したくなりますね．
基本的に順序のついたグラフの分類の問題です．
ちなみに、3点までの$T_0$ 空間はすべて離散空間にホモトピー同値ですが、
実際4点集合上の $T_0$ 空間のホモトピー同値類は5個あって、
離散空間にホモトピー同値にならないものがあることになります．
また、学生と話していたときは、有限位相空間がいつ2つの有限位相空間の
直積になるかという問題も提起してみました．
また、有限位相空間のオイラー数
（$T_0$有限集合はある単体複体と弱同値にできるというMcCordの結果もある）
という概念もあるはずで、その場合2つの直積空間であれば
それぞれの空間のオイラー数の積になるでしょうか．（それはそうでしょうね．）
私は全く素人なのでこの辺のことはよく知りません．
この対象は辺境の分野であるとは思うし、
なんとなく集合論や論理学の立場では位相という概念を扱うのは面倒らしい．（その学生曰く．）
でも有限単純群の分類とモジュラー関数などを関係づけるムーシャイン
など瓢箪からコマ的な驚きの結果があったら面白いでしょうね．
組み合わせ論や代数トポロジーなどと絡んでおり面白い分野ではあると思います．
有限位相空間についてはまだまだ面白い性質や結果があるので興味がある
人は勉強してみるとよいと思います．
P.May のホームページにいくつかノートがあります．
http://www.math.uchicago.edu/~may/MISCMaster.html
下の参考文献の(3) は本として最近のことまでまとまっているよい本だと思います．
[参考文献]
その反例として有限集合上の位相を考えたりしてました．
有限集合上の位相（有限位相空間）は反例が作りやすいので、いろいろと
思考実験にはもってこいです．
下に書くように特殊なものしか作れませんが．
そういわけで位相空間の例として有限集合上の位相が教科書によく出てきます．
位相の演習の時間には２点上に入る位相を数えなさい．
や、３点上に入る位相を数えなさいなど位相の定義を使って位相を作ってみる
演習をやったりします．
そのような空間は３点くらいの分類を始めたところでわかると思いますが、
結構難しいです．
単純で素朴な対象ほど奥が深く、難しいことがよくあります．
有限群の分類だとか、結び目の分類なんかも...
まず、有限位相空間が距離空間であったとすると、すぐわかることですが
離散位相になります．またそれをハウスドルフ $T_2$ にしても同じことであるのは
すぐわかります．
また、$T_1$ としても離散なものしかありません．
$T_1$ とは異なる2点 $p,q$ を取ってきたときに、 $p\in U$ かつ $q\not\in U$ となる
開集合 $U$ と $q\in V$ かつ $p\not\in V$ となる開集合 $V$ がとれることです．
これは、任意の一点集合が閉集合であるといっても同じことです．
つまり非$T_1$ を考えることが本質です．
なので、定義にハウスドルフを仮定している正則や正規はあまり意味がありません．
しかし、一般に一点集合が閉ではないので、$T_3$ や $T_4$ などの公理も
この場合でも意味があります．
また、有限位相空間では $T_0$ は重要な意味があります．
$T_0$ とは上記の $U$ と $V$ がどちらかが存在すればよいというものです．
もちろん定義から $T_1$ ならば $T_0$です．
有限位相空間は次のように、前順序集合(preordered set)と以下のように
対応をつけることができます．
前順序集合とは集合上の順序を込めた2項関係 $a\le b$ で、
- $a\le a$ (反射律)
- $a\le b$ かつ $b\le c$ ならば $a\le c$ (推移律)
だだし、
3. $a\le b$ かつ $b\le a$ ならば $a=b$ (反対称律)
は成り立つとは限りません．
もし成り立てば、半順序集合(partially ordered set, poset)となります．
$X$ を有限位相空間として、$\forall x\in X$ に対して、
$U_x$ を $x$ を含む最小の開集合とします．
有限集合なのでそのような最小の開集合が存在します．
（有限集合上のべき集合も有限なので任意の共通部分や和集合は
有限個の共通部分や和集合となります．そういうわけで当たり前ですがコンパクトです．）
つまり、$U_x$ は $x$ を含む全ての開集合が含んでいる開集合です．
つまり $U_x$ は $X$ 上の開基 $\beta=\{U_x|x\in X\}$ を与えていることになります．
このような開基を $X$ の極小開基と言います．
極小開基がこの位相空間を全て特徴づけているわけです．
このとき、 $X$ 上に前順序を以下のようにいれます．
$x,y\in X$ に対して $x\le y$ を $x\in U_y$ として定義します．
つまり、ある点 $y$ に対してその開近傍にいつも含まれている点達は
$y$ より小さいとするのです．
いつも従えているものを下にみなすというイメージでしょうか？
また、 $U_x$ に関して包含関係に関して $X$ に順序を入れていると言っても
同じことです．
そうすると、反射律や推移律はすぐ満たされることは分かります．
また、違う点でもお互いを従えている関係があれば、$x\le y$ かつ $y\le x$
がありえます．
しかし、上記の$T_0$という公理があるなら、違う点ならば、どちらかの
束縛から外れなければならないので、このようなことは起こりません．
つまり、 $T_0$ 有限位相空間の前順序は半順序に
なります．
また有限位相空間上の連結性は、下の３つは同値です．
- 連結
- 弧状連結
- 前順序として連結
${\frak X}_1=\{\emptyset, X\}, {\frak X}_2=\{\emptyset, \{a\},X\},{\frak X}_3=\{\emptyset, \{a,b\},X\},$
${\frak X}_4=\{\emptyset, \{a\},\{b,c\},X\},{\frak X}_5=\{\emptyset, \{a\},\{a,b\},X\},$
${\frak X}_6=\{\emptyset, \{a\},\{a,b\},\{c,a\},X\},{\frak X}_7=\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{a,b\},X\},$
${\frak X}_8=\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{a,b\},\{b,c\},X\},{\frak X}_9=\{\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{b,c\},\{c,a\},X\}$
の9個あって、
$T_0$ 空間であるのは、${\frak X}_5,{\frak X}_6$, ${\frak X}_7$, ${\frak X}_8$, ${\frak X}_9$
であって、対応する半順序から来るハッセ図（包含関係をグラフにしたもの）
は下のようになります．
$3$点集合の $T_0$ 空間が組み合わせ的にこれだけしかないことも逆にすぐ分かるでしょう．
また、${\frak X}_4$ と ${\frak X}_8$ と ${\frak X}_9$ は非連結で、
2点上の位相空間と1点上の位相空間の位相空間としての非交和です．
密着位相は任意の$x,y\in X$に対して、$x\le y$ かつ $y\le x$ がなりたちます．
一般に $n$ 点上の位相空間（$T_0$でないのも含めて）が一体いくつあるのか
1つ1つ分類するほかよく分かっていないようです．
そこで、ホモトピーの立場で分類することを考えたりすることが多いです．
ホモトピーとは、同相よりは弱いが空間の繋がり具合を反映する重要な同値関係です．
筑波大ではトポロジーＩＩＩでこの概念が登場します．
トポロジーＩＩＩには演習がついていないのが残念ですが．
まず、連続写像 $f,g:X\to Y$ がホモトピー同値 $f\simeq g$ であるとは、ある連続写像
$H:I\times X\to Y$ が存在して、$H(0,x)=f(x), H(1,x)=g(x)$ となることです．
ここで、$I$ は単位区間で$I\times X$ には通常の積位相が入っています．
ある連続写像 $f:X\to Y$ と $g:Y\to X$ が存在して、$f\circ g\simeq id_Y$かつ
$g\circ f\simeq id_X$ であることです．
2つの空間 $X,Y$ がホモトピー同値であるなら、そのホモトピー群
$\pi_n(X,x)$ $\pi_n(Y,y)$ が同型になります．
ところで、ホモトピー群 $\pi_n(X,x)$ とは大体、位相空間 $X$ の中に内部で連続的に
動かして一点につぶれないような（基点付きの） $S^n$ （$n$次元球面）が
どれほどあるかということを測るもので、群を値をもちます．
つまり群が違えば違う位相空間ということになります．
正確に定義しようとすると面倒なのでここではしませんが．
$\pi_1(X,x)$ は位相空間の基本群と呼ばれ、$X$ の中への連続な $S^1$（円周）で
内部で引っかかってとれないところがいくつあるかということを表しています．
同相であれば、それらはもちろん群として同型になりますがホモトピー同値という概念でも
それは同型になります．
有限位相空間にもこの概念がどのように計算されるかみましょう．
定義からぐ分かることですが、ある点の極小な開集合 $U_x$ が全体集合
になってしまうような空間は可縮です．つまり一点とホモトピー同値です．
例えば、${\frak X}_1\simeq{\frak X}_2\simeq{\frak X}_3\simeq{\frak X}_5\simeq{\frak X}_7$
は全て一点からなる位相空間とホモトピー同値です．
（ホモトピー同値であるが同相ではない．）
他の空間も考えましょう．
McCordによって以下が示されています．
定理（McCord）
有限集合上の位相で、$x\le y$かつ$y\le x$である点$x,y$を同一視した位相空間
はもとの位相空間にホモトピー同値．
例えば、${\frak X}_4$ は $b,c$を同一視すれば、2点からなる離散空間にホモトピー同値です．
また、上の ${\frak X}_5,{\frak X}_6,{\frak X}_7$ は全て1点集合とホモトピー同値です．
つまり可縮です．
というのも、${\frak X}_5$ の表わすハッセ図の直線を上下に縮めると一点になります．
また、${\frak X}_6$、も例えば右の腕を縮めれば直線型にホモトピー同値で
さらに、縮めれば一点にホモトピー同値です．
${\frak X}_7$ も同様です．
このような縮めることができる点のことをbeat pointといいます．
そういうわけで、3点集合のホモトピー同値類は
3つあって、全て離散的な 1点集合、2点集合、3点集合のどれかになるわけです．
そうすると、4点集合上の $T_0$ 空間のホモトピー同値類を全て求めよ．
という問題を演習で出したくなりますね．
基本的に順序のついたグラフの分類の問題です．
ちなみに、3点までの$T_0$ 空間はすべて離散空間にホモトピー同値ですが、
実際4点集合上の $T_0$ 空間のホモトピー同値類は5個あって、
離散空間にホモトピー同値にならないものがあることになります．
また、学生と話していたときは、有限位相空間がいつ2つの有限位相空間の
直積になるかという問題も提起してみました．
また、有限位相空間のオイラー数
（$T_0$有限集合はある単体複体と弱同値にできるというMcCordの結果もある）
という概念もあるはずで、その場合2つの直積空間であれば
それぞれの空間のオイラー数の積になるでしょうか．（それはそうでしょうね．）
私は全く素人なのでこの辺のことはよく知りません．
この対象は辺境の分野であるとは思うし、
なんとなく集合論や論理学の立場では位相という概念を扱うのは面倒らしい．（その学生曰く．）
でも有限単純群の分類とモジュラー関数などを関係づけるムーシャイン
など瓢箪からコマ的な驚きの結果があったら面白いでしょうね．
組み合わせ論や代数トポロジーなどと絡んでおり面白い分野ではあると思います．
有限位相空間についてはまだまだ面白い性質や結果があるので興味がある
人は勉強してみるとよいと思います．
P.May のホームページにいくつかノートがあります．
http://www.math.uchicago.edu/~may/MISCMaster.html
下の参考文献の(3) は本として最近のことまでまとまっているよい本だと思います．
[参考文献]
- R.E. Stong, Finite topological space, Trans. Amer. Math. Soc, 1966
- Michael C. McCord, Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces, Duke Math. J. Volume 33, Number 3 (1966), 465-474
- J. Barmak, Algebraic Topology of Finite Topological Spaces and Applications, Springer
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