自然数m の分割 \lambda=(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\in {\Bbb Z}^n とは広義減少列 \lambda_1\ge \lambda_2\ge \cdots\ge \lambda_n で
m=\lambda_1+\cdots+\lambda_n を満たすものとする．
さらに、\delta=(n-1,n-2,\cdots,0) とし、\lambda+\delta とすると、狭義減少列
\lambda_1+n-1> \lambda_2+n-2> \cdots> \lambda_n
が得られます．
さて、\etaを分割としたとき、
a_{\eta}=\det \begin{pmatrix} x_1^{\eta_1}&x_1^{\eta_2}&\cdots&x_1^{\eta_{n-1}}&x_1^{\eta_n}\\ x_2^{\eta_1}&x_2^{\eta_2}&\cdots&x_2^{\eta_{n-1}}&x_2^{\eta_n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\cdots\\ x_n^{\eta_1}&x_n^{\eta_2}&\cdots&x_n^{\eta_{n-1}}&x_m^{\eta_n} \end{pmatrix}
と定義します．
そうするとa_\eta は\eta が0 出ないためには \eta は
狭義減少列である必要があります。
a_\delta は よくある差積 \Delta=\prod_{i<j}(x_i-x_j) となります．
シューア多項式とは、
ある分割 \lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) に対して、
s_\lambda=\frac{a_{\lambda+\delta}}{a_{\delta}}
と定義されます．
シューア多項式は対称式です．
対称群の元 \sigma\in S_n に対して、変数を x_1,x_2,..,x_n とする多項式 f(x_1,\cdots,x_n) に
\sigma\cdot f(x_1,\cdots,x_n)=f(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(n)})
とする変換を多項式全体 {\Bbb C}[x_1,\cdots,x_n]=:{\Bbb C}[x] に定義すると、
対称群 S_n は {\Bbb C}[x] 上に作用させることができます．
その固定部分集合
{\Bbb C}[x]^{S_n}=\{f\in{\Bbb C}[x]|\sigma\cdot f=f,\forall f\in{\Bbb C}[x]\}
のことを対称式といいます．
そのとき、{\Bbb C}[x]^{S_n} は基本対称式 \{\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n\}
の多項式として書けることが知られています．
つまり、{\Bbb C}[x]^{S_n}={\Bbb C}[\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n]={\Bbb C}[s]
基本対称式とは、つまり、
\sigma_1=x_1+\cdots+x_n
\sigma_2=\sum_{i<j}x_ix_j
\cdots
\sigma_n=\prod_{i=1}^nx_i
となるもので、それぞれ、\sigma_i は i 次の斉次式となっています．
ところで、{\Bbb C}[x]^{S_n} の m 次斉次式全体を V_{n,m}としましょう．
m のn 個以下の整数の分割に対して
そのシューア多項式 s_\lambda はV_{n,m} の元です．
一般に、
[定理]
V_{n,m} の元は n個以下のm の分割に付随したシューア多項式の
一次結合で書けます．シューア多項式が一次独立であることから、
特に、\dim(V_{n,m})は n 個以下のmの分割の個数と一致します．
つまり、シューア多項式はV_{n,m}を {\Bbb C}-ベクトル空間
としたときの基底となっているのです．
例えば、n=2 として、2 個以下の m=5 の分割は、5, 4+1,3+2 の
3種類あります。よって、\dim(V_{5,2})=3．
s_{(5)}=x_1^5 + x_1^4 x_2 + x_1^3x_2^2 + x_1^2x_2^3 + x_1x_2^4 + x_2^5
s_{(4,1)}=x_1^4x_2+x_1^3x_2^2+x_1^2x_2^3+x_1x_2^4
s_{(3,2)}=x_1^3x_2^2+x_1^2x_2^3
このような計算はシューア多項式のwiki(http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%A2%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F)
にも書いてあります．
上の定理の証明ですが、まず
交代式全体の中で、\{a_{\lambda+\delta}\}が一次独立であることと、
対称式全体の中で \{s_{\lambda}\}が一次独立であることは同値である．
交代式は必ず、(差積)\times (対称式)
の形をしている．ということから導かれる．
もちろん多項式環の中では、f\cdot g=0 ならば f=0 もしくは g=0 も成り立っている．
交代式 \{a_{\lambda+\delta}\} が一次独立であることは、
異なる \lambda+\delta と \lambda'+\delta に対して、a_{\lambda+\delta} と a_{\lambda'+\delta} には
共通項がないので当然\{a_{\lambda+\delta}\} は一次独立．
ゆえに、対称式の中で \{s_\lambda\} も一次独立．
任意の交代式 A が a_{\lambda+\delta} の一次結合でかけることは、
そのような交代式の任意の項は、\alpha x_1^{l_1}x_2^{l_2}\cdots x_n^{l_n}
と書くことができて、任意の\tau\in S_n に対して、
\text{sig}(\tau)\alpha x_1^{l_{\tau^{-1}(1)}}x_2^{l_{\tau^{-1}(2)}}\cdots x_n^{l_{\tau^{-1}(n)}}
もこの交代式に入っている．
ここで、\text{sig} は置換の符号．
つまり A は、指数を大きさ順に並べたものを \lambda+\delta とおけば、
それらの項は、\pm \alpha a_{\lambda+\delta} とかける．
これらの項を A からまるまる引くことで、新しい交代式 A' が得られる．
これを有限回繰り返すことで、
A=\alpha_1a_{\lambda_1+\delta}+\alpha_2a_{\lambda_2+\delta}+\cdots+\alpha_na_{\lambda_n+\delta}
が得られる．
よって、2 変数の中で、5次の斉次式は、
\sigma_1^5, \sigma_1^3\sigma_2, \sigma_1\sigma_2^2
の式で書けるが、これらは一次独立であり、 s_{(5)}, s_{(4,1)}, s_{(3,2)} の
一次結合でかくことができる．
\sigma_1^5=s_{(5)}+4s_{(4,1)}+5s_{(3,2)}
\sigma_1^3\sigma_2=s_{(4,1)}+2s_{(3,2)}
\sigma_1\sigma_2^2=s_{(3,2)}
となります．
[参考文献]
岩堀長慶 対称群と一般線型群の表現論--既約指標・Young図形とテンソル空間の分解 （岩波書店）
m=\lambda_1+\cdots+\lambda_n を満たすものとする．
さらに、\delta=(n-1,n-2,\cdots,0) とし、\lambda+\delta とすると、狭義減少列
\lambda_1+n-1> \lambda_2+n-2> \cdots> \lambda_n
が得られます．
さて、\etaを分割としたとき、
a_{\eta}=\det \begin{pmatrix} x_1^{\eta_1}&x_1^{\eta_2}&\cdots&x_1^{\eta_{n-1}}&x_1^{\eta_n}\\ x_2^{\eta_1}&x_2^{\eta_2}&\cdots&x_2^{\eta_{n-1}}&x_2^{\eta_n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\cdots\\ x_n^{\eta_1}&x_n^{\eta_2}&\cdots&x_n^{\eta_{n-1}}&x_m^{\eta_n} \end{pmatrix}
と定義します．
そうするとa_\eta は\eta が0 出ないためには \eta は
狭義減少列である必要があります。
a_\delta は よくある差積 \Delta=\prod_{i<j}(x_i-x_j) となります．
シューア多項式とは、
ある分割 \lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) に対して、
s_\lambda=\frac{a_{\lambda+\delta}}{a_{\delta}}
と定義されます．
シューア多項式は対称式です．
対称群の元 \sigma\in S_n に対して、変数を x_1,x_2,..,x_n とする多項式 f(x_1,\cdots,x_n) に
\sigma\cdot f(x_1,\cdots,x_n)=f(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(n)})
とする変換を多項式全体 {\Bbb C}[x_1,\cdots,x_n]=:{\Bbb C}[x] に定義すると、
対称群 S_n は {\Bbb C}[x] 上に作用させることができます．
その固定部分集合
{\Bbb C}[x]^{S_n}=\{f\in{\Bbb C}[x]|\sigma\cdot f=f,\forall f\in{\Bbb C}[x]\}
のことを対称式といいます．
そのとき、{\Bbb C}[x]^{S_n} は基本対称式 \{\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n\}
の多項式として書けることが知られています．
つまり、{\Bbb C}[x]^{S_n}={\Bbb C}[\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n]={\Bbb C}[s]
基本対称式とは、つまり、
\sigma_1=x_1+\cdots+x_n
\sigma_2=\sum_{i<j}x_ix_j
\cdots
\sigma_n=\prod_{i=1}^nx_i
となるもので、それぞれ、\sigma_i は i 次の斉次式となっています．
ところで、{\Bbb C}[x]^{S_n} の m 次斉次式全体を V_{n,m}としましょう．
m のn 個以下の整数の分割に対して
そのシューア多項式 s_\lambda はV_{n,m} の元です．
一般に、
[定理]
V_{n,m} の元は n個以下のm の分割に付随したシューア多項式の
一次結合で書けます．シューア多項式が一次独立であることから、
特に、\dim(V_{n,m})は n 個以下のmの分割の個数と一致します．
つまり、シューア多項式はV_{n,m}を {\Bbb C}-ベクトル空間
としたときの基底となっているのです．
例えば、n=2 として、2 個以下の m=5 の分割は、5, 4+1,3+2 の
3種類あります。よって、\dim(V_{5,2})=3．
s_{(5)}=x_1^5 + x_1^4 x_2 + x_1^3x_2^2 + x_1^2x_2^3 + x_1x_2^4 + x_2^5
s_{(4,1)}=x_1^4x_2+x_1^3x_2^2+x_1^2x_2^3+x_1x_2^4
s_{(3,2)}=x_1^3x_2^2+x_1^2x_2^3
このような計算はシューア多項式のwiki(http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%A2%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F)
にも書いてあります．
上の定理の証明ですが、まず
交代式全体の中で、\{a_{\lambda+\delta}\}が一次独立であることと、
対称式全体の中で \{s_{\lambda}\}が一次独立であることは同値である．
交代式は必ず、(差積)\times (対称式)
の形をしている．ということから導かれる．
もちろん多項式環の中では、f\cdot g=0 ならば f=0 もしくは g=0 も成り立っている．
交代式 \{a_{\lambda+\delta}\} が一次独立であることは、
異なる \lambda+\delta と \lambda'+\delta に対して、a_{\lambda+\delta} と a_{\lambda'+\delta} には
共通項がないので当然\{a_{\lambda+\delta}\} は一次独立．
ゆえに、対称式の中で \{s_\lambda\} も一次独立．
任意の交代式 A が a_{\lambda+\delta} の一次結合でかけることは、
そのような交代式の任意の項は、\alpha x_1^{l_1}x_2^{l_2}\cdots x_n^{l_n}
と書くことができて、任意の\tau\in S_n に対して、
\text{sig}(\tau)\alpha x_1^{l_{\tau^{-1}(1)}}x_2^{l_{\tau^{-1}(2)}}\cdots x_n^{l_{\tau^{-1}(n)}}
もこの交代式に入っている．
ここで、\text{sig} は置換の符号．
つまり A は、指数を大きさ順に並べたものを \lambda+\delta とおけば、
それらの項は、\pm \alpha a_{\lambda+\delta} とかける．
これらの項を A からまるまる引くことで、新しい交代式 A' が得られる．
これを有限回繰り返すことで、
A=\alpha_1a_{\lambda_1+\delta}+\alpha_2a_{\lambda_2+\delta}+\cdots+\alpha_na_{\lambda_n+\delta}
が得られる．
よって、2 変数の中で、5次の斉次式は、
\sigma_1^5, \sigma_1^3\sigma_2, \sigma_1\sigma_2^2
の式で書けるが、これらは一次独立であり、 s_{(5)}, s_{(4,1)}, s_{(3,2)} の
一次結合でかくことができる．
\sigma_1^5=s_{(5)}+4s_{(4,1)}+5s_{(3,2)}
\sigma_1^3\sigma_2=s_{(4,1)}+2s_{(3,2)}
\sigma_1\sigma_2^2=s_{(3,2)}
となります．
[参考文献]
岩堀長慶 対称群と一般線型群の表現論--既約指標・Young図形とテンソル空間の分解 （岩波書店）
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