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2019年12月12日木曜日

トポロジー入門(第7回)

[場所1E303,203(月曜日3,4限)]



前回は開基を定義しました。
開基とは開集合の集合ですが、
任意の開集合が開基に属する開集合を使って覆えるものをいいます。

今回は
可算公理
についてやりました。

定義7.1
(X,\mathcal{O})第2可算公理を満たすとは、
Xのある開基として、可算個のものが取れるときをいう。

定義7.2
(X,\mathcal{O})可分であるとは、ある可算部分集合 D\subset X が存在して、
X=\overline{D} となることをいう。

このような部分集合 \overline{D}=X となる部分集合のことを稠密部分集合といいます。
まず、次の定理を示しました。

定理7.1
(X,\mathcal{O}) が第2可算公理をみたすとき、X
第1可算公理を満たし、可分である。

(証明)
\mathcal{B}X の可算開基とします。
\mathcal{N}^\ast(x)=\{U\in \mathcal{B}|x\in U\} とします。
このとき、\mathcal{N}^\ast(x)x の基本近傍系であることを示します。
\forall U\in \mathcal{N}(x) とします。
このとき、x\in V\subset U となる開集合V が存在して、さらに開基の定義から
x\in W\subset V となる W\in \mathcal{B} がなりたち、
\mathcal{N}^\ast(x) の定義から、W\in \mathcal{N}^\ast(x) が成り立ちます。
ゆえに、\mathcal{N}^\ast(x) は基本近傍系です。
\mathcal{N}^\ast(x) は可算集合の部分集合なので、高々可算集合です。
つまり、X は第1可算公理を満たします。

\forall U\in \mathcal{B} に対して、a_U\in U を選んでおきます。
このとき、D=\{a_U|U\in \mathcal{B}\} とすると、D は可算集合です。
\forall x\in X \forall U\in\mathcal{N}(x) を取ると、x\in V\in \mathcal{B} が存在して、
V\subset U となります。よって、a_V\in V を満たし、\emptyset\neq V\cap D\subset U\cap D ですので、とくにU\cap D\neq \emptyset となります。

よって、DX の稠密部分集合ですので、X は可分空間となります。\Box
さらに次の定理を示します。

定理7.2 距離位相空間 (X,\mathcal{O}_d) は、可分であることと第2可算であることは
同値である。

(証明)定理7.1から可分であるなら、第2可算であることをしめせばよい。
A\subset X を可算稠密集合とします。
\mathcal{B}=\{B_d(x,\frac{1}{n}|x\in A,n\in\mathcal{N}\} 
は可算集合なので、\mathcal{B} が開基であることを示せばよいことになります。
\forall U\in \mathcal{O}\forall x\in U に対して、
B_d(x,\frac{1}{n})\subset U となるようなn\in {\mathbb N} が存在します。
また、A は稠密なので、a\in B_d(x,\frac{1}{2n}) となる a が存在します。
よって、x\in B_d(a,\frac{1}{2n}) がなりたち、
B_d(a,\frac{1}{2n})\subset B_d(x,\frac{1}{n}) がなりたちます。
なぜなら、z\in B_d(a,\frac{1}{2n}) なら、
d(z,x)\le d(z,a)+d(a,x)<\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}=\frac{1}{n} となるからです。
よって、x\in B_d(x,\frac{1}{2n})\subset B_d(x,\frac{1}{n})\subset U となるので
\mathcal{B} が開基であることがわかります。\Box


例を考えましょう。

例1
({\mathbb R},\mathcal{O}_{d^1}) を考えると、距離位相空間なので、{\mathbb Q}
が可算稠密集合なので、可分空間になります。
よって、第2可算公理を満たし、かつ第1可算公理も満たします。
開基として \mathcal{B}=\{B_d(q,\frac{1}{n})|q\in {\mathbb Q},n\in{\mathbb N}\}
とれますが、実際、\{(a,b)|a,b\in {\mathbb R}\}を取っておいても
開基となります。つまり、開区間が開基となる位相空間です。

例2
({\mathbb R},\mathcal{O}_l) を以下のように定義します。
\mathcal{O}_l\mathcal{B}_l=\{[a,b)|a,b\in {\mathbb R}\} を開基とする
位相空間とし、下限位相もしくはゾルゲンフライ直線といいます。
このときも、{\mathbb Q} が可算稠密集合になるので可分な位相空間です。
しかし、第2可算を満たしません。

なぜなら、\mathcal{B} を可算開基として矛盾を導きます。
開集合 [x,x+1) に対して x\in U_x\subset [x,x+1) となる開基 U_x\in \mathcal{B} 
が存在します。よって、\{U_x|x\in{\mathbb R}\}\mathcal{B}
部分集合ですが、可算濃度ではありません。
というのも、x\neq x’ に対して \min(U_x)=x であり、\min(U_{x’})=x’ であり
U_x\neq U_{x’} であるからです。

よって、可分で第2可算公理を満たさないので、({\mathbb R},\mathcal{O}_l) 
は距離化できない位相空間ということになります。

ここで次の定義をします。

定義7.3
X 上の位相 \mathcal{O}_1\mathcal{O}_2
集合として \mathcal{O}_1\subset \mathcal{O}_2 を満たすとき、
\mathcal{O}_2\mathcal{O}_1 より強い位相、また、
\mathcal{O}_1\mathcal{O}_2 より弱い位相といいます。
そのとき、(X,\mathcal{O}_1)\le (X,\mathcal{O}_2) とかいたり、
単に、\mathcal{O}_1\le \mathcal{O}_2 と書いたりします。
\mathcal{O}_1\subset \mathcal{O}_2 かつ \mathcal{O}_1\neq \mathcal{O}_2
が成り立つとき、\mathcal{O}_2\mathcal{O}_1 より真に強い
位相といい、\mathcal{O}_1<\mathcal{O}_2 と書きます。

X 上の位相はこの < および \le によって順序集合となります。
一番強い位相は離散位相空間で、一番弱い位相は、密着位相空間です。

実は、\mathcal{O}_{d^1}<\mathcal{O}_l がなりたちます。
これはレポート問題に出したので解いてみてください。

最後に次の例を挙げて終わります。

例3
(X,\mathcal{O}_{cf})\mathcal{O}_{cf}=\{U\subset X||U^c|<\aleph_0\}
とします。
この位相を補有限位相といいます。
X={\mathbb R} として考えます。
この位相空間 ({\mathbb R},\mathcal{O}_{cf}) は第1可算でないことがわかります。
このとき、\forall x\in {\mathbb R} に対して、基本近傍系 \mathcal{N}^\ast(x) 
が可算集合であるとします。

このとき、
\{x\}=\cap_{U\in \mathcal{N}(x)}U であることを示します。
\subset は明らかです。y\neq x を取ると、
X\setminus\{y\}\in \mathcal{N}(x) であるから、y\not\in \cap_{U\in\mathcal{N}(x)}U
となります。よって、\supset がなりたちます。

また、\{x\}=\cap_{U\in\mathcal{N}(x)}U=\cap_{U\in\mathcal{N}^\ast(x)}U 
がなりたちます。最後の等式は \subset であることは、基本近傍系が
近傍系の部分集合であることからわかります。
\supset であることは、y\in \cap_{U\in\mathcal{N}(x)}U に対して、
\forall U\in \mathcal{N}(x) に対して、ある V\in \mathcal{N}^\ast(x)
存在して、z\in V\subset U であるから、z\in U となります。
つまり、z\in \cap_{U\in\mathcal{N}(x)}U であることになります。

よって、
\{x\}=\cap_{U\in\mathcal{N}(x)}U=\cap_{U\in\mathcal{N}^\ast(x)}U
であり、この補集合をとると、
\{x\}^c=\cup_{U\in \mathcal{N}(x)}U^c=\cup_{U\in\mathcal{N}^\ast(x)}U^c
となります。ここで、X が実数の場合、最左辺は非可算集合であり、
最右辺は、高々可算集合であり、矛盾します。
よって、({\mathbb R},\mathcal{O}_{cf}) は第1可算ではないということになります。
つまり、距離化可能でもありません。

トポロジー入門(第6回)

[場所1E303,203(月曜日3,4限)]


今回は近傍系を元に位相空間を構成することを行いました。
前回最後に以下を定義しました。

定義5.5
X を集合とする。\forall x\in X に対して \mathcal{N}(x)\subset \mathcal{P}(X)
を次を満たすものとする。
(1) \mathcal{N}(x)\neq \emptyset\land (V\in \mathcal{N}(x)\to x\in V)
(2) \forall V_1,V_2\in \mathcal{N}(x)(V_1\cap V_2\in \mathcal{N}(x))
(3) \forall V\in \mathcal{N}(x)(V\subset W\to W\in \mathcal{N}(x))
(4) \forall V\in \mathcal{N}(x)\exists W\in \mathcal{N}(x)(y\in W\to V\in \mathcal{N}(y))
このとき、\mathcal{N}(x)x の近傍系といい、\mathcal{N}(x) の元を
x近傍という。

また、近傍系を集めた集合 \mathcal{N}=\{\mathcal{N}(x)|x\in X\}X の近傍系という
ことにします。

ここでの話題は
近傍系と開集合系の同値性
です。

開集合系をもつ位相空間 (X,\mathcal{O}) から、
ある近傍系を定義することができます。

定義6.1 (X,\mathcal{O}) を位相空間とする。\mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x)
\{V\in \mathcal{P}(X)|\exists U\in \mathcal{O}(x\in U\subset  V)\}
として定義する。

このとき、以下を証明をしました。

定理6.1 (X,\mathcal{O}) を位相空間とする。\forall x\in X に対して
\mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x)x の近傍系である。

(証明) まず、開集合 U\in \mathcal{O}x\in U に対して
U\in \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) であることは簡単にわかります。

近傍系の条件(1)から(4)を満たすことを示します。
(1) X\in \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) を満たすので、成り立ちます。
(2) V_1,V_2\in \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) とすると、
x\in U_1\subset V_1 かつ x\in U_2\subset V_2 を満たす U_i\in \mathcal{O}
が存在します。よって
x\in U_1\cap U_2\subset V_1\cap V_2 かつ U_1\cap U_2\in \mathcal{O}
を満たすので、V_1\cap V_2\in \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) となります。
(3) V\in \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) に対して、U\in \mathcal{O} が存在して、
x\in U\subset V が存在します。V\subset W とすると、
U\subset V\subset W が成り立ち、とくに、x\in U\subset W となるので、
W\in \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) となります。
(4) \forall V\in\mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) に対して x\in W\subset V を満たす
W\in \mathcal{O} が存在します。
証明の最初の記述から \forall y\in W に対して、
W\in \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(y) となります。
よって、W\subset V であるから、V\in \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(y) となります。
\Box


各点 x に対して x の近傍系 \mathcal{N}(x)
定義したとき、逆に X に位相を定義することができます。

定義6.2   各点 x に対して \mathcal{N}(x) を近傍系とすると、
\mathcal{O}_{\mathcal{N}}\{U\subset X|\forall x\in U(U\in\mathcal{N}(x))\} と定義する。

 そのとき、以下を示しました。

定理6.2 \mathcal{O}_{\mathcal{N}} は開集合系である。

(証明) (I) の成立は省略します。
(II) を証明をします。U_1,U_2\in \mathcal{O}_{\mathcal{N}} とします。
\forall x\in U_1\cap U_2 とすると、x\in U_1 かつ x\in U_2 が成り立ち、
U_1\in \mathcal{N}(x) かつ  U_2\in \mathcal{N}(x) を満たします。
よって、近傍系の定義の(2)から U_1\cap U_2\in \mathcal{N}(x) を満たすので、
U_1\cap U_2\in \mathcal{O}_{\mathcal{N}} が成り立ちます。
(III) を証明します。\{U_\lambda\in \mathcal{O}_{\mathcal{N}}|\lambda\in \Lambda\} とします。
このとき、x\in \cup_{\lambda\in \Lambda}U_\lambda とすると、
\exists \lambda\in \Lambda(x\in U_\lambda) となり、U_\lambda\in \mathcal{N}(x)
となります。よって 近傍の条件(3) から\cup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda\in \mathcal{N}(x) ですから、
\cup_{\lambda\in \Lambda}U_\lambda\in \mathcal{O}_{\mathcal{N}} が成り立ちます。
よって、位相の条件が満たされるので、\mathcal{O}_{\mathcal{N}} は開集合系となります。\Box

まとめると X を集合としたとき、写像
\{\mathcal{O}|\mathcal{O}\text{は $X$ 上の開集合系}\}\to \{\mathcal{N}|\mathcal{N}\text{は$X$ の近傍系}\}
\mathcal{O}\mapsto \mathcal{N}_{\mathcal{O}}
を定義しました。また、この逆向きの写像
\mathcal{N}\mapsto \mathcal{O}_{\mathcal{N}} も定義できました。

実際、これらの写像が逆写像の関係であることを示しましょう。

定理6.3 \mathcal{O}_{\mathcal{N}_{\mathcal{O}}}=\mathcal{O} である。

(証明) U\in \mathcal{O}_{\mathcal{N}_{\mathcal{O}}} とします。
このとき、\forall x\in U に対して U\in \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) が成り立ちます。
よって x\in V_x\subset U となる V_x\in \mathcal{O} が存在して、
U=\cup_{x\in U}V_x が成り立ちます。
(このイコールの証明は省略します。)
位相の条件 (III) より、U\in \mathcal{O} となります。

逆に、U\in \mathcal{O} が成り立つとすると、\forall x\in U に対して U\in \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) 
が成り立ちます。これは、U\in \mathcal{O}_{\mathcal{N}_{\mathcal{O}}} 
が成り立つことを意味します。\Box

また、次が示されます。

定理6.4 \mathcal{N}_{\mathcal{O}_{\mathcal{N}}}=\mathcal{N} である。

\forall x に対して、V\in \mathcal{N}_{\mathcal{O}_{\mathcal{N}}}(x) とします。
このとき、\exists U\in \mathcal{O}_{\mathcal{N}}(x\in U\subset V) が成り立ちます。
また、U\in \mathcal{N}(x) ですから、(3)から V\in \mathcal{N}(x) が成り立ちます。

逆に、V\in\mathcal{N}(x) とします。
V’=\{y\in X|V\in \mathcal{N}(y)\} と定義します。
このとき、z\in V’ に対して V\in \mathcal{N}(z) であるから、とくに z\in V であり、
V’\subset V が成り立ちます。
また、\forall y\in V’ とすると、V\in \mathcal{N}(y) が成りたち、(4)から
\exists W\in \mathcal{N}(y) かつ z\in W\to V\in \mathcal{N}(z) が成り立ちます。
よって、z\in V’ であるから、
W\subset V’ が成り立ちます。(3) より、V’\in \mathcal{N}(y) が成り立ちます。
これは、V’\in \mathcal{O}_{\mathcal{N}} であることがわかります。
よって、V\in \mathcal{N}_{\mathcal{O}_{\mathcal{O}}} がわかりました。\Box

ここで以下を示します。
定理6.5
O=\{\mathcal{O}|\mathcal{O}\text{は $X$ 上の開集合系}\}
とし、
M=\{\mathcal{N}|\mathcal{N}\text{は$X$ の近傍系}\}
としたとき、\phi:O\to M\ \ (\mathcal{O}\mapsto \mathcal{N}_{\mathcal{O}})
としたとき \phi は全単射である。

(証明)
\forall \mathcal{O}_1, \mathcal{O}_2\in O を取ります。
このとき、\phi(\mathcal{O}_1)=\phi(\mathcal{O}_2) であるとすると、
\mathcal{N}_{\mathcal{O}_1}=\mathcal{N}_{\mathcal{O}_2} であるから、\mathcal{O}_{\mathcal{N}_{\mathcal{O}_1}}=\mathcal{O}_{\mathcal{N}_{\mathcal{O}_2}} 
であり、定理6.3から \mathcal{O}_1=\mathcal{O}_2 が成り立ちます。
よって \phi は単射であることがわかります。\phi が全射であることは
定理6.4からわかります。 \Box

定理6.6 
(X,\mathcal{N}_X)(Y,\mathcal{N}_Y)X,Y 上の位相空間とする。
このとき、f:X\to Y が連続であることの必要十分条件は、\forall x\in X
において、\forall V\in \mathcal{N}_Y(f(x))\to \forall f^{-1}(V)\in \mathcal{N}_X(x)
が成り立つことである。

(証明) 
f が連続であるとします。
このとき、\forall V\in \mathcal{N}(f(x)) とすると、
f(x)\in U\subset V となる U\in \mathcal{O}_{\mathcal{N}_Y}(f(x)) が存在して、
x\in f^{-1}(U)\subset f^{-1}(V) が成り立ち、連続性から f^{-1}(U)\in \mathcal{O}_X となります。
f^{-1}(V)\in \mathcal{N}(x) が成り立ちます。

逆を示します。\forall U\in \mathcal{O}_Y とします。
このとき、\forall x\in f^{-1}(U) に対して U\in \mathcal{N}_Y(f(x))
ですから条件より、f^{-1}(U)\in \mathcal{N}_X(x) となるので、
f^{-1}(U)\in \mathcal{O} が成り立ちます。
よって f は連続となります。\Box


次に
基本近傍系
について言及しました。

定義6.3
\mathcal{N}(x)x の近傍系とする。
\mathcal{N}^\ast(x)\subset \mathcal{N}(x) が基本近傍系であるとは、
\forall V\in \mathcal{N}(x) に対して \exists V’\in \mathcal{N}^\ast(x)(V’\subset V)
満たすものをいう。

つまり、基本近傍系とは、近傍系の部分集合で近傍として基本的なものを
含んでいるものです。基本的というのは、いくらでも小さい近傍が含まれるということを意味します。


例えば、X 上の距離位相空間 \mathcal{O}_d において、
\mathcal{N}_d=\mathcal{N}_{\mathcal{O}_d} と定義します。
\mathcal{N}^\ast_d(x)=\{B_d(x,\epsilon)\subset X|\epsilon>0\} としますと、
\mathcal{N}^\ast_d(x)\mathcal{N}_d の基本近傍系となります。

定義6.3.5
(X,\mathcal{O}) が第1可算空間であるとは \forall x\in X
対して高々可算個の基本近傍系をもつことをいう。


例えば、任意の距離位相空間 \mathcal{O}_d は第1可算空間です。
基本近傍系 \mathcal{N}^\ast(x) として、\mathcal{N}^\ast(x)=\{B_d(x,\frac{1}{n})|n\in\mathcal{N}\} とすると
\mathcal{N}^\ast(x) は基本近傍系になります。
というのは、U\mathcal{N}(x) に対して、B_d(x,\epsilon)\subset U となる\epsilon>0
が存在しますが、\frac{1}{n}<\epsilon を取れば、B_d(x,\frac{1}{n})\subset B_d(x,\epsilon)\subset U となるからです。

開基を定義します。

定義6.4
(X,\mathcal{O}) を位相空間とし、\mathcal{B}\subset \mathcal{O} が開基
であるとは、\forall U\in \mathcal{O}\forall x\in U に対して、B\in \mathcal{B}
が存在して、x\in B\subset U となることをいう。

最後に次の定理を示して終わりました。

定理6.7
(X,\mathcal{O}) を位相空間とする。\mathcal{B}\subset \mathcal{O}
が開基であることは、\forall U\in \mathcal{O} に対してある \mathcal{B}’\subset \mathcal{B}
が存在して、U=\cup\mathcal{B}’ とできることをいう。

証明
\mathcal{B}\subset \mathcal{O} を開基とします。
このとき \forall U\in \mathcal{O} に対して、\mathcal{B}’=\{V\subset X|V\in \mathcal{B},x\in V\subset U\}
とすると、\cup\mathcal{B}’=U となります。
というのは、\subset は、\forall V\in \mathcal{B}’ に対して、V\subset U
となり、\supset は、\forall x\in U に対してx\in V\in \mathcal{B}’
からです。
逆を示します。\forall U\in \mathcal{B} に対して U=\cup\mathcal{B}’ かつ \mathcal{B}’\subset \mathcal{B}
となる\mathcal{B}’ が存在するので、
\forall x\in U に対して、V\in \mathcal{B}’ が存在して、x\in V となるので、
x\in V\subset U となります。\Box