微積分I演習(第14回)

[場所1E101（水曜日4限）]

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今日は

• べき級数の収束半径

について主にやりました．

収束半径

収束半径の定義や、その基本的な内容については、前回のブログ（リンク）に書きましたのでここでは省略します．

ある、べき級数が収束半径 $R$ であるとは、$R$ より小さい任意の $r<R$ において、中心からの半径が $r$ において、級数が絶対収束するものです．

級数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ の収束半径が $R$ とすると、この級数の項別微分 $\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}$ の収束半径も $R$ となります．

また、収束半径を求める公式があります．

公式27（収束半径）

級数 $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$ の収束半径 $R$ は、
$$\frac{1}{R}=\limsup_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}$$
と計算できる．

$\limsup$ は、極限集合の中での最大のものと思ってください．

例えば、$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$ は、$\log(1+x)$ の級数展開ですが、
この収束半径の公式を用いると、
$\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{n}}$
の極限値を求めることになりますが、$a$ を $a>1$ なる実数とすると、
十分大きい自然数 $N$ に対して、$\forall n>N$ に対して、$1\le n<a^n$ となります．

(なぜなら、ロピタルの定理を用いて、$\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n}=\lim_{n\to \infty}a^n\log a=\infty$ となりますので上のようなことが言えます．)

よって、
$\frac{1}{\sqrt[n]{n}}<\sqrt[n]{a^n}=a$
となり、任意の $1$ より大きい実数 $a$ に対して
$$1\le \sqrt[n]{n}<a$$
がいえる(ある自然数 $N$ が存在して $\forall n>N$ に対してこの不等式が成り立つ)ので、

収束半径 $R$ は、$R=1$ であることが言えます．

また、$\frac{1}{\sqrt[n]{n}}$ の収束先は簡単に下のように書くことができます．
$\lim_{n\to \infty}\log \frac{1}{\sqrt[n]{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{-1}{n}\log n$ となりますが、
ロピタルの定理から、この極限は $\frac{(\log n)'}{n'}$ と同じで、$\frac{\frac{1}{n}}{1}\to 0$ となります．よって、$\frac{1}{\sqrt[n]{n}}\to 1$ ということになります．


この公式だけで収束半径が計算できますが、他にも、授業中に紹介した収束半径を求める以下のような方法もあります．

すべての項 $a_n$ が non-zero であるなら、
$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ の収束半径は、
$$\frac{1}{R}=\lim_{n\to\infty}\Big|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Big|$$

と計算できます．

逆に、収束半径の議論から数列の極限がわかることがあります．
簡単な例で言えば、$e^x$ のべき級数展開は、
$$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$
となり、収束半径は無限大ですが、つまり、
$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n!}}$ が $0$ に収束することがわかります．
よって、
$$\sqrt[n]{n!}\to \infty$$
がわかります．