今日は九九の話です.
この前、手習い塾に行ったときに話していた学生が言っていたこと....
6\times 8 は 7^2-1 を計算すればよい.
すぐに何を言っているのか分かりませんでした.
もちろん正しいのは分かるのですが.
要は
a(a+2) を計算するには、 よくある和と差の積 (b-1)(b+1)=b^2-1 を計算
するというわけですが.つまり、a=b-1 とするわけです.
つまり、九九のうち 6\times 8 を知らなくても、7\times7 を知っているだけで
そこから誤差 1 を引くだけで計算できるということですが.
実際、九九は本当に81個覚えなければならないのでしょうか?
まず、掛け算の可換性が明らかだとすると、(1+9)\cdot 9/2=45 個だけでいいのですが、
さっきのように、誤差がわかっていれば、6\times 8 は覚える必要はありません.
そうすると
n\times(n+2) は (n+1)^2 から 1 を引けばよいわけだから平方数 n^2 を
覚えていればよい.
また、偶数個離れていても、
(n+m)(n-m)=n^2-m^2 と 平方数が分かっていれば引き算すればよい.
2\times 6 や3\times 9 等は、平方数より重要度が低いことになります.
例えば 2\times 6 は、掛けているふたつの数 2,6の平均の 4 の平方を計算し、
2数 2,6 の平均からのからのずれ 2 の平方をとればよい.
つまり、2\times 6=4^2-2^2
同じように、3,9 の積に対しては、2つの平均の 6の平方から、ずれの 3
の平方の差を計算すればよい.
つまり、3\times 9=6^2-3^2 となります.
では、奇数個離れている積はどうすればよいでしょうか?
n(n+1)やn(n+3)はどうすればよいか?
しかし、2や 10は平方数の差を計算しても出てきません.
仕方がないから n(n+1) も覚えましょうか.
そうすると、
n(n+2m+1)=(k-m)(k+m+1)=k^2-m^2+k-m=k(k+1)-m(m+1)
となり、全ての奇数の差の積は n(n+1) の形の差として書けることがわかりました.
つまり、
2\times 5=2(2+3)=3\times 4-1\times 2 や
3\times 8=3(3+5)=5(5+1)-2(2+1)
などととなります.
つまり、掛ける2つの数の平均の整数部分 n の n(n+1) から n と小さい方との差
m に対する m(m+1) を引く.
全ての整数の掛け算は偶数差か奇数差なので、n^2 と n(n+1) を覚えていれば、
任意の n\times mがそれらの引き算で計算出来ることになります.
九九を平方数のところと、n\times (n+1) のところを書いておきます.
この前、手習い塾に行ったときに話していた学生が言っていたこと....
6\times 8 は 7^2-1 を計算すればよい.
すぐに何を言っているのか分かりませんでした.
もちろん正しいのは分かるのですが.
要は
a(a+2) を計算するには、 よくある和と差の積 (b-1)(b+1)=b^2-1 を計算
するというわけですが.つまり、a=b-1 とするわけです.
つまり、九九のうち 6\times 8 を知らなくても、7\times7 を知っているだけで
そこから誤差 1 を引くだけで計算できるということですが.
実際、九九は本当に81個覚えなければならないのでしょうか?
まず、掛け算の可換性が明らかだとすると、(1+9)\cdot 9/2=45 個だけでいいのですが、
さっきのように、誤差がわかっていれば、6\times 8 は覚える必要はありません.
そうすると
n\times(n+2) は (n+1)^2 から 1 を引けばよいわけだから平方数 n^2 を
覚えていればよい.
また、偶数個離れていても、
(n+m)(n-m)=n^2-m^2 と 平方数が分かっていれば引き算すればよい.
2\times 6 や3\times 9 等は、平方数より重要度が低いことになります.
例えば 2\times 6 は、掛けているふたつの数 2,6の平均の 4 の平方を計算し、
2数 2,6 の平均からのからのずれ 2 の平方をとればよい.
つまり、2\times 6=4^2-2^2
同じように、3,9 の積に対しては、2つの平均の 6の平方から、ずれの 3
の平方の差を計算すればよい.
つまり、3\times 9=6^2-3^2 となります.
では、奇数個離れている積はどうすればよいでしょうか?
n(n+1)やn(n+3)はどうすればよいか?
しかし、2や 10は平方数の差を計算しても出てきません.
仕方がないから n(n+1) も覚えましょうか.
そうすると、
n(n+2m+1)=(k-m)(k+m+1)=k^2-m^2+k-m=k(k+1)-m(m+1)
となり、全ての奇数の差の積は n(n+1) の形の差として書けることがわかりました.
つまり、
2\times 5=2(2+3)=3\times 4-1\times 2 や
3\times 8=3(3+5)=5(5+1)-2(2+1)
などととなります.
つまり、掛ける2つの数の平均の整数部分 n の n(n+1) から n と小さい方との差
m に対する m(m+1) を引く.
全ての整数の掛け算は偶数差か奇数差なので、n^2 と n(n+1) を覚えていれば、
任意の n\times mがそれらの引き算で計算出来ることになります.
九九を平方数のところと、n\times (n+1) のところを書いておきます.
1 | 2 | 1\times 3 | 1\times 4 | 1\times 5 | 1\times 6 | 1\times 7 | 1\times8 | 1\times 9 |
2 | 4 | 6 | 2\times4 | 2\times 5 | 2\times 6 | 2\times 7 | 2\times 8 | 2\times 9 |
3\times 1 | 6 | 9 | 12 | 3\times 5 | 3\times 6 | 3\times7 | 3\times 8 | 3\times 9 |
4\times 1 | 4\times 2 | 12 | 16 | 20 | 4\times 6 | 4\times 7 | 4\times 8 | 4\times 9 |
5\times 1 | 5\times 2 | 5\times 3 | 20 | 25 | 30 | 5\times 7 | 5\times 8 | 5\times 9 |
6\times 1 | 6\times 2 | 6\times 3 | 6\times 4 | 30 | 36 | 42 | 6\times 8 | 6\times 9 |
7\times 1 | 7\times 2 | 7\times 3 | 7\times 4 | 7\times 5 | 42 | 49 | 56 | 7\times 9 |
8\times 1 | 8\times 2 | 8\times 3 | 8\times 4 | 8\times 5 | 8\times 6 | 56 | 64 | 72 |
9\times 1 | 9\times 2 | 9\times3 | 9\times 4 | 9\times 5 | 9\times 6 | 9\times 7 | 72 | 81 |
九九のその他の表をそれらの差で書いていくと
1 | 2 | 4-1 | 6-2 | 9-4 | 12-6 | 16-9 | 20-12 | 25-16 |
4 | 6 | 9-1 | 12-2 | 16-4 | 20-6 | 25-9 | 30-12 | |
9 | 12 | 16-1 | 20-2 | 25-4 | 30-6 | 36-9 | ||
16 | 20 | 25-1 | 30-2 | 36-4 | 42-6 | |||
25 | 30 | 36-1 | 42-2 | 49-4 | ||||
36 | 42 | 49-1 | 56-2 | |||||
49 | 56 | 64-1 | ||||||
64 | 72 | |||||||
81 |
となり、見事に、その他の三角の部分は平方数の差や n(n+1) の形の数の差として
表せることが分かりました.
よって、分かったことは、
定理
任意の自然数は平方数(0も含めて)の差、もしくは、n(n+1)の形の数(0を含めて)
の差として表せる.
特に九九の計算においては、平方数と n(n+1) の数を覚えておけば、適当に差をとることで
全て求めることができる.