2/6に、筑波大の附属駒場中学から中学生が筑波大学に訪問しに来ました。
「対称性の数学」として以下のような話をしました。
いきなりですが本題です。
問題
1. 対称性とは何か？また、それはどのように測ることができるか？
2. 対称性はどのように記述すればよいか？
研究課題
平面上の繰り返し模様にはどのような変換が働くのだろうか？
対称性とは？
対称性とは、線対称とか点対称とかよく中高の授業でも出てきますが、
数学一般として何をしているのでしょうか？
ここでは、集合という概念は既知として進めます。
下にトランプの4つの図柄(スート)があります。
このスートの対称性を考えてみましょう。下のように、クローバーの上の点を
点線に沿って対称に動かすことで、その点は $P’$ に写ります。また $P’$ の点を
同じ点線に沿って対称に動かすことで再び $P$ に戻ってくることがわかると思います。
このようにして入れ替え全体を群とみなすことができます。
この群のことを $n$ 次対称群といい、$S_n$ と表します。
また、$S_n$ の要素のことを簡単に置換と言ったりします。
つまり、$S_n$ は $1$ から $n$ までの数字の置換全体からなる群ということです。
$S_n$ の元の個数は、$1$ から $n$ までの数を一列に並べる方法の数だけあるので
$n!$ 個あることがわかります。
よって、上で書いたことは、群の言葉を用いて以下のように表すことができます。
定理
ちなみに、$S_3$ は非可換な性質をもつ群であることを確かめておきます。
$$T_a\cdot T_c=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}=R^2$$
$$T_c\cdot T_a=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}=R$$
1を超えたら上の規則を導入して、余りをとることになります。
このような積 $\times$ のことを群の直積といいます。
「対称性の数学」として以下のような話をしました。
いきなりですが本題です。
問題
1. 対称性とは何か？また、それはどのように測ることができるか？
2. 対称性はどのように記述すればよいか？
研究課題
平面上の繰り返し模様にはどのような変換が働くのだろうか？
対称性とは？
対称性とは、線対称とか点対称とかよく中高の授業でも出てきますが、
数学一般として何をしているのでしょうか？
ここでは、集合という概念は既知として進めます。
下にトランプの4つの図柄(スート)があります。
このスートの対称性を考えてみましょう。下のように、クローバーの上の点を
点線に沿って対称に動かすことで、その点は $P’$ に写ります。また $P’$ の点を
同じ点線に沿って対称に動かすことで再び $P$ に戻ってくることがわかると思います。
このような現象を、数学の記号を用いて、
$T(P)=P’$
$T(P’)=P$
と書きます。また、$P’$ の場所に $T(P)$ を代入することで、$T(T(P))=P$
となりますが、２回続けてこの操作をすることは、$TT(P)$ と書くことにすれば、
$TT(P)=P$ となります。操作というのを数学では、変換とも言いますので、
これ以降変換ということにします。
この $TT$ を $T^2$ のように普通の実数と同じような書き方をしましょう。
すると、$T^2(P)=P$ となり、この $T^2$ という変換は、すべての点を動かさない
という変換になります。そもそもそのような変換のことを恒等変換といい、
$I$ と表すことにすれば、
このことを $T^2=I$ と書くことができます。
つまり、$T$ という変換は、2回続けて行うと、恒等変換と一致するのです。
このいくつかの変換(違う変換でもいい)を変換のことを合成といいます。
また、この変換は、クローバー自身をクローバー自身に写しており、
その全体としての位置は変わらないということも注意しておきます。
そして、このような変換が他のスペード、ハード、ダイヤも持っていることは
すぐにわかると思いますが、ダイヤだけ、対称性に何か特別な感じがします。
さっきの変換 $T$ の他に、水平軸に対称な変換 $S$ があるからです。
それを描くと、以下のようになります。
このとき、$T^2=I$ かつ $S^2=I$ であることもわかりますが、$T$ をしてから
$S$ をしたり、$S$ をしてから $T$ をするというようにすると、
すべての $P$ に対して $ST(P)=P’’’$ かつ $TS(P)=P’''$ つまり、
$ST(P)=TS(P)$ が成立するので、変換として、$ST=TS$ という関係が成り立つ
ことがわかると思います。
$T$ や $S$ は何回か合成しても、新しい変換は生まれませんでしたが、
変換 $T$ と $S$ の合成を行うと新しい変換になりました。
よく見ると、この変換は、ダイアの中心に関する点対称だということがわかります。
また、$TS=ST$ というのは、変換を順番を変えても同じ変換になることから、
$T$ と $S$ は可換だといいます。
行列を習った人なら、この可換性というのは特殊な状況だということがわかると思います。一般の行列は、かける順番を変えると別の行列になります。
しかし、一般の変換も可換でない非可換な状態も出てきます。
下にその例を書きました。
また、$TS$ は中心に関する点対称なので、２回かけるてやると、$I$ になります。
その証明をしてみると、$(TS)^2=TSTS=TTSS=I\cdot I=I$ となります。
このようにして、クローバー、スペード、ハートには対称な変換は１つだけでしたが、
ダイアだけは3つの対称な変換があることがわかりました。
全部で、$T, S,TS$ です。
ここで、ダイアの変換で、180度回転したものは忘れていない？
と思う人もいるかもしれませんが、実は、この変換は最後の $TS$ と同じです。
なぜかというと、ダイアを上の頂点から反時計回りに1,2,3,4と番号を振って
その動きを観察すると、
$TS(1)=T(3)=3$, $TS(2)=T(2)=4$, $TS(3)=T(1)=1$, $TS(4)=T(4)=2$
となり、180度回転を $U$ として点の動きを観察して見ると、
$U(1)=3$, $U(2)=4$, $U(3)=1$, $U(4)=2$
となり、一致します。つまり $TS=U$ となります。
(この４点の動きが一致するからといってなぜ変換として一致するのでしょうか？考えてみてください。)
一般に、平面上のある1点に関する点対称変換はその点に関する180度回転と一致します。
そこで、対称性とは何か？
という問いにここで答えておきます。
問いの答え
図形の対称性とは、その図形を保つ変換のことである。
その対称性は、そのような変換すべての``集合"を見ることによって測ることができる。
この答えでは、対称な変換が、いわゆる線対称・点対称ということから一般化して、
''その図形を保つような変換”と一般化している点に注意してください。
つまり、対称な変換とは、変換した前と後で図形として変わらないものの
を指しているということになります。
群というものを定義して対称性を数学的に記述していくことで
次第にそのような対称性の性質の自然さがわかって来ます。
よって、今までの図形に関して変換をすべて並べてやると、
クローバー、スペード、ハートに関しては、
$$\{T,I\}$$
であったものが、ダイアに関しては、
$$\{T,S,TS,I\}$$
となります。ここで、集合に $I$ が入っています。
恒等変換は、すべての図形の点の位置を保ちますが、
それは、特に、図形自身も保っていることから、上記の対称性の定義に
もれないからです。
結論として、ダイアは他のスートに比べて２倍の対称性があるということがわかりました。
このように、$G(\text{(図形)})$ と書いて、その(図形)の変換全体の集合を表します。
次に、ここで出てきた、$G(\diamondsuit)$ や $G(\clubsuit)$ などの集合はどのような性質を持っているか、少し一般論に入りましょう。
群論
定義(群)
$G$ が群であるとは、$G$ は集合であって、$g,h\in G$ に対して、
$g\cdot h\in G$ となるような演算規則 $\cdot$ が定められており、以下を
満たすものをいいます 。
(a) 任意の $g,h,k\in G$ に対して、$(g\cdot h)\cdot k=g\cdot(h\cdot k)$ が成り立つ。
(b) $e\in G$ が存在して、任意の $g\in G$ に対して $g\cdot e=e\cdot g=g$ が成り立つ。
(c) 任意の $g\in G$ に対して、$g^{-1}\in G$ が存在して、$g\cdot g^{-1}=g^{-1}\cdot g=e$ が成り立つ。
$g,h\in G$ に対して、$g\cdot h\in G$ となることを演算が閉じているといいます。
また、群の演算のことを群の積ということがあります。
このようにして群 $G$ を定義してやると、先ほどの $G(\diamondsuit)$ や $G(\clubsuit)$ など
は群になることがわかると思います。実際、
$G(\clubsuit)$ は2の元からなる群で、演算が閉じていることは $T^2=I$ であることから
わかりますし、(a) もすぐ成り立つことがわかります。また、(b) は、$e=I$ とすればよく、
(c) は、$T^{-1}=T$ であることから成り立ちます。
同じように、$G(\clubsuit)$ なども、上のようにして、(a),(b)までは成立し、
(c) は、$T^{-1}=T$, $S^{-1}=S$, $(TS)^{-1}=TS$ であることからわかります。
一般に、何かの図形を保つような変換全体の集合を持ってくると、それは
群だということもわかります。
よって、$G(\text{(図形)})$ のような集合のことを、(図形)群ということにします。
また、次の概念が重要です。
定義(群の同型)
$G$ と $H$ が群であり、$G$ から $H$ への一対一対応(数学の言葉では全単射)
があり、その対応を $g\mapsto h$ と書くことにします。このとき、
$g_1,g_2\in G$ に対して、$g_1\mapsto h_1$ かつ $g_2\mapsto h_2$ を満たす
とき、
$g_1\cdot g_2\mapsto h_1\cdot h_2$
を満たすとします。このとき、この対応のことを同型といい、$G\cong H$ と書きます。
後半部分の条件を群の準同型といいます。
定義(部分群)
群、$G,H$ が $G\subset H$ を満たし、その包含において、群の間の
準同型を与えているとき、$G$ は $H$ の部分群であるといいます。
この同型、部分群という概念によって、一見違うように見える対象にも共通した構造が
潜んでおり、それを発見し、記述することができるようになります。
これを抽象化といいます。
上のような単純な群の定義だけで、群の理論は、計り知れないほど複雑で、
面白い世界が広がっています。
そして、これまで、数多くの魅力的な研究がなされてきました。
現代にも、多くの書籍やインターネットなどで、群に関する話が書かれてきております。
このブログでも群に関係のある話をいくつかを書いたことがあります。
それで、少し、話を戻し、他にもいくつか、図形の変換群を計算してみます。
例えば、正三角形群はどうでしょうか？
つまり、$G(\triangle)$ がどのような群であるかを求めてみます。
正三角形を正三角形に写す変換群は下のようになります。
今、正三角形の頂点にそれぞれ、1,2,3と番号を振り、その頂点とその対辺を通る直線を、
a,b,c と名前をつけました。また、a,b,c に関する線対称(鏡映という)を
$T_a,T_b,T_c$ ということにします。
このとき、この変換において、1,2,3がどのように移り変わるかを考えてみます。
すると、
$$T_a\mapsto \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix},T_b\mapsto \begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix},$$
$$T_c\mapsto \begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}$$
となります。
また、正三角形の120度回転を $R$ と書くことにすれば、
$$R\mapsto \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix},R^2\mapsto \begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix},$$
そして、恒等変換 $I$ は
$$I\mapsto \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}$$
となります。
ここで、出てきた $2\times 3$ 行列を観察すると、
1行目の $1,2,3$ を2行目においてすべて並び替えたもの全てが表れていることが
わかります。
これにより、わかることは、すべての変換は、1,2,3の写り方を全てを
考えていることと同じなのです。
考えていることと同じなのです。
ここで、$1$ から $n$ までの数字を入れ替えるという操作は群を構成しています。
$1$ から $n$ の任意の整数を $i$ とします。
$i\mapsto r_i$ となる入れ替えを
$$\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\r_1&r_2&\cdots &r_n\end{pmatrix}$$
とします。この2行目は、$1$ から $n$ までのどれかの整数が
一つずつ並べられています。
一つずつ並べられています。
この群は、演算として、このような操作の合成として定義されます。
積
$$\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\s_1&s_2&\cdots &s_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\r_1&r_2&\cdots &r_n\end{pmatrix}$$
を次のようにして定義します。まず、
$$\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\s_1&s_2&\cdots &s_n\end{pmatrix}$$
の列の並び替えで、
$$\begin{pmatrix}r_1&r_2&\cdots &r_n\\t_1&t_2&\cdots &t_n\end{pmatrix}$$
が得られたとすると、
$$\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\s_1&s_2&\cdots &s_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\r_1&r_2&\cdots &r_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\t_1&t_2&\cdots &t_n\end{pmatrix}$$
として定義するのです。
つまり、続けて入れ替えの操作を積として定義をするのです。
このようにして入れ替え全体を群とみなすことができます。
この群のことを $n$ 次対称群といい、$S_n$ と表します。
また、$S_n$ の要素のことを簡単に置換と言ったりします。
つまり、$S_n$ は $1$ から $n$ までの数字の置換全体からなる群ということです。
$S_n$ の元の個数は、$1$ から $n$ までの数を一列に並べる方法の数だけあるので
$n!$ 個あることがわかります。
よって、上で書いたことは、群の言葉を用いて以下のように表すことができます。
定理
$G(\triangle)\cong S_3$
である。
この定理は、三角形の対称性全体と $1,2,3$ の置換からなる群全体という
一見違って見えるものの間に構造上の一致が見られるということを表しています。
ちなみに、$S_3$ は非可換な性質をもつ群であることを確かめておきます。
$$T_a\cdot T_c=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}=R^2$$
$$T_c\cdot T_a=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}=R$$
同じように、実は、ダイアスートの対称性は、$G(\diamondsuit)\cong {\mathbb Z}/2{\mathbb Z}\times {\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$
と書けます。${\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ とは、$0$ と $1$ からなる
群で、演算は、$0+1=1,1+1=0,0+0=0$ となる足し算で定義します。
普通の足し算をし、1を超えたら2で割った余りをとるという規則です。
その２つの群の積 $\times$ ですが、これは、２つの群のペア全体を考えるということ
を意味します。この群は、
$(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$ からなる群で、演算として
$(0,0)+(1,0)=(1,0), (1,1)+(1,0)=(0,1)$ のように、成分同士足し合わせて、もし1を超えたら上の規則を導入して、余りをとることになります。
このような積 $\times$ のことを群の直積といいます。
この群 ${\mathbb Z}/2{\mathbb Z}\times {\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$
と $G(\diamondsuit)$ の対応ですが、
$I\mapsto (0,0)$
$S\mapsto (1,0)$
$T\mapsto (0,1)$
$ST\mapsto (1,1)$
のように対応をつければ、これらの群の間に演算をこめた対応が作られることになります。
このようにして、他にも図形のもつ対称性を調べることができます。
例えば、ルービックキューブのような立方体の図形の対称性な変換全体の群は
何でしょうか？
他にも、12面体の対称性など。
ルービックキューブのような立方体の図形を $I^3$ とし、12面体を $D$ で表すことにします。
このとき、
$G(I^3)\cong S_4$
であり、
$G(D)\cong A_5$
という群構造を持ちます。
最初の同型は、$1$ から $4$ までの置換全体を意味しますが、
それは図形のどこを考えればよいでしょうか？
ヒントは対角線ですが...
とにかく、立方体の対称な変換は、$4!=24$ 個あることが分かります。
この24という数だけなら、実は、よく考えれば、すぐ答えが出ます。
ルービックキューブを同じ位置におく方法の数を考えると、
上面の色を固定して考えると、側面の４つの位置の決め方は4通りある。
また、上面の色を入れ替えることでそれが6個ずつあるのだから、
全部で、$4\times 6$ で $24$ 個です。
これは、うちの小学生の子供たち(3,5年生)に出題したら瞬時に答えが返ってきました。
群 $A_5$ は、$S_5$ の部分群で、偶数回の互換(２つの数字を入れ替える置換)
全体からなる群です。
文様群
上のダイアスートを平面上に並べることを考えましょう。
そうすると、下のような図になります。
これは一部を描いたもので、実際は、平面全体にこの模様が広がっています。
このような模様にも群が作用しています。例えば、あるダイヤを右下のダイヤに持っていって重ねる変換もありますし、左上に重ねる操作もあります。
また、ある点を軸に回転させるものもあります。また、ある直線(ある垂直な直線
や水平な直線)を軸に折り返す変換です。折り返し変換のことを鏡映といいます。
下に絵を書いておきます。
回転する軸は、３種類あり、鏡映軸は２種類あります。
ここで、定理を一つ挙げておきます。
定理
平面上のユークリッド群の要素は、以下の５つとなる。
- 恒等変換
- 平面上のある1点を軸とした回転
- 平行移動
- 平面上のある軸を対称とした鏡映
- 平面上のある軸を対称としたすべり鏡映
となります。ユークリッド群とは、平面全体の変換で、角度、長さを保つような
平面の変換全体のことです。
また、すべり鏡映とは、鏡映と平行移動を合わせたような変換のことで、下の図のようになります。
この例では、すべり鏡映軸は鏡映と平行になっています。同じように水平な
鏡映軸と平行なすべり鏡映軸も存在します。
ここで、平行移動という変換が入っています。この変換は対称変換とは
一見思いにくいかもしれません。しかし、以前対称変換の意味を
拡張したことを思い出してください。ある操作をした後、何かの図形が
変わらなければその操作は対称な変換と認めるのでした。
すこし脱線したので元に戻ります。実は、次のような事実があります。
定理
平面のある一つのピースのユークリッド変換によって繰り返しして平面を埋め尽くす
パターンは全部で１７種類である。
この17という群は、上のユークリッド群の中で、ある条件を満たす部分群を
分類した結果、それが17個あるということになるのです。
この17という数字は平面を埋め尽くす模様を作る職人
(例えば、組み木をする人や、着物の模様をデザインする人)
には経験的に知られていたことで、それを数学者が改めて定理という形で証明した
ということのようです。
ここで用いられる、パターンを平面上で動かして得られる変換のことを文様群(壁紙群)
といいます。また、このようにあるパターンを使って平面を全て埋め尽くすことを
タイリングといいます。
この１７種類のパターンについては、このブログより、他のサイトの方が正確ですので、
そちらを読んでください。
この分類によると、このひし形を並べて得られるタイリングは
cmmという分類になります。卜部さんのページのたけだびしという
模様は、そのような方法によって作られているということになります。
特徴として、
「180度回転がある。鏡映がある。鏡映軸とは異なるすべり鏡映軸
があり、それはいずれも鏡映軸と平行である。」
です。逆にこのような性質をもつ模様は、ひし形を並べてできる模様という
ことになります。
また、ひし形を並べるだけであれば以下のようなタイリングもあります。
この模様は、p6mです。六角形で平面を埋め尽くす蜂の巣構造の模様と
同じということになります。
以下に問題を出しておきます。
問題
1．ひし形の特殊な形であ正方形で同じようなタイリングを考えるとどのような幾何学的模様と一致するでしょうか？
２．正三角形 $\triangle$ を使って平面を敷き詰めると、どのような文様群と一致するでしょうか？
３．市松模様はp4m(正方形の格子模様)の対称性を持つが、それらの模様には、図形としてどのような一致がみられるか？
４．平行移動は、ある鏡映の合成によってかけることができる、どのように合成すればよいか？
